DAG，找到顶点子集的边

Question

我有一个DAG G =（V，E），它是邻接列表表示。我试图根据附加到顶点的一些参数来压缩它。

现在我有一个图G =（V，E）和一个包含V的子集的列表。

任何想法如何有效地从原始图中找到子集顶点的边？

我需要使用原始图表连接子集。

看看这个图

{9：[10]，7：[9]，8：[9]，6：[7]，3：[8]，2：[3,4]，5：[4,6]， 4：[7]，1：[2]}

现在，如果我采用子集[1,4,7]

如何找到子集的连接？请将传递闭包视为一个问题。我需要找到所有边缘而不是传递闭包中的重复。

Answer 1

将子集（让我们称之为 S ）放入哈希表中。然后遍历邻接列表，并查看每个边缘，看它的第一个顶点是否在哈希表中。通过这种方式，您可以在 O （| S | + | E |）中获得所需的所有边缘。

Answer 2

一种简单的方法是找到原始图表的transitive closure（使用Floyd-Warshall），然后使用它将边缘添加到结果图表中。

通过查找传递闭包，您有一个邻接矩阵，只要原始图中的顶点x和y之间存在任何路径（直接或间接），矩阵[x] [y]就为真。使用它，你可以简单地为子集图中的每对顶点a和b添加边（a，b）iff matrix [a] [b]为真（即原始图中有一条从a到b的路径） ）。

这最终会添加比严格必要更多的边缘，但它会为您提供准确的子集图。

Answer 3

首先，你必须利用一些算法来获得传递闭包。从您的示例看，图表似乎非常稀疏，因此使用Johnson's Algorithm而不是Floyd-Warshall。 Johnson's Algo要求O（（V ^ 2）* log V + VE）小于Floyd-Warshall的O（V ^ 3）稀疏图。请注意，只有当您有一个大型稀疏图时，这种差异才会明显。

现在添加表单的边缘＆lt;的x，y＆GT;对于子集图中的每对顶点，如果x可以从y到达（将由Johnson的Algo给出）。

Answer 4

如果您的子集是S，则可以执行| S | depth-first searches（或breadth-first searches）确定子集图中的边。每次搜索都是 O（V + E），所以 O（V ^ 2 + VE）或更好 O（S（V + E）），如果S很小。然后，您可能希望使用transitive reduction删除不必要的边。

如果您的图表不完全非循环，那么几乎肯定会首先合并strongly connected components。这样做很便宜，可以大大减少所需的工作。