顶点子集

Question

我有一个家庭作业问题，我不知道如何解决它。如果你能给我一个想法，我将非常感激。

这是问题所在： “你得到一个连通的无向图，它有N个顶点和N个边。每个顶点都有一个成本。你必须找到一个顶点的子集，这样子集中顶点的总成本是最小的，并且每个边都是偶然的来自子集的至少一个顶点。“

提前谢谢！

P.S：我已经考虑了很长一段时间的解决方案，我想出的唯一想法是回溯或二分图中的最低成本匹配，但这两个想法对于N = 100000而言都太慢了。

Answer 1

这可以使用动态编程在线性时间内解决。

具有N个顶点和N个边的连通图仅包含一个周期。从检测此循环开始（借助深度优先搜索）。

然后移除此循环中的任何边缘。入射到此边缘的两个顶点是 u 和 v 。删除此边缘后，我们有一棵树。将其解释为根 u 的根树。

此树的动态编程重现可以这样定义：

• w ₀ [k] = 0（对于叶节点）
• w ₁ [k] = vertex_cost（对于叶节点）
• w ₀ [k] = w ₁ [k + 1]（对于有一个后代的节点）
• w ₁ [k] = vertex_cost + min（ w ₀ [k + 1]，< strong> w ₁ [k + 1]）（对于有一个后代的节点）
• w ₀ [k] = sum（ w ₁ [k + 1]， x ₁ [k + 1]，...）（对于分支节点）
• w ₁ [k] = vertex_cost + sum（min（ w ₀ [k + 1] ， w ₁ [k + 1]），min（ x ₀ [k + 1]， x ₁ [k + 1]），...）

此处k是节点深度（距离根的距离）， w ₀ 是从节点 w <开始的子树的成本/ strong>当 w 不在“子集”中时， w ₁ 是从节点 w开始的子树的成本 w 在“子集”中时。

对于每个节点，只应计算两个值： w ₀ 和 w ₁ 。但对于循环中的节点，我们需要4个值： w _i，j ，其中i = 0，如果节点 v 不在“subset”，如果节点 v 在“子集”中，则i = 1，如果当前节点不在“子集”中，则j = 0，如果当前节点在“子集”中，则j = 1

“子集”的最优成本确定为min（ u _0,1 ， u _1,0 ， u _1,1 ）。要获得“子集”本身，存储后向指针以及每个子树成本，并使用它们来重建子集。

Answer 2

由于边数对于相同数量的顶点是严格的，因此它不是NP-Complete的常见Vertex cover problem。我认为这里有一个多项式解决方案：

1. N个顶点和（N-1）个边图是树。您的图形有N个顶点和N个边。首先找到导致循环的可怕边缘并将图形设置为树。您可以使用DFS查找循环（​​O(N)）。删除循环中的任何一个边将构成一个可能的树。在极端条件下，您将获得N个可能的树（原始图形为圆形）。

2. 将简单的动态规划算法（O(N)）应用于每个可能的树（O(N^2)），然后找到成本最低的算法。