如果m！= n，确定n ^ m = m ^ n的最快方法是什么？

Question

这是hackerearth的练习部分中的问题之一。我们需要确定m ^ n = n ^ m。当n = m时，这是微不足道的，因此我们关注m！= n。

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我尝试过的是

1 <= m, n <= 10^10000

但是问题是如何取这么多的日志？有没有其他检查相等性的方法？

Answer 1

让我们做一些数学运算来确定如何为解决方案编程：

很容易看到 n 和 m 都不能等于1，因为它们必须不同并且不能为null。让我们寻找 1 。

的解决方案。

正如您正确指出的那样， n ^m = m ⁿ 表示 m.log（n）= n.log（m ）

因此，我们正在寻找 m / log（m）= n / log（n）和 1 的解决方案。

我们可以研究 x> 1 的函数 f（x）= x / log（x）：

其导数为 f'（x）=（log（x）-1）/ log（x） ²

导数在 x = e 处具有单个零， f（x）在 x = 1 和之间严格减小x = e ，并从 x = e 一直增加到无穷大。

任何2个不同的数字 n 和 m ，使得 f（n）= f（m），n 必须使得 1 和 m> e

n 的唯一可能的整数值为2，并且恰好是一个相应的 m 值为4的解决方案，区间中没有其他整数1到e。

因此，唯一的解决方案是n = 2，m = 4和n = 4，m = 2

这是一个C语言程序，用于输出所有可能的结果：

#include <stdio.h>
int main() {
    printf("2 4\n");
    printf("4 2\n");
    return 0;
}