Question

我正在努力在Coq中对Free Selective Applicative Functors进行形式化，但在归纳中对具有非均匀类型参数的归纳数据类型进行了挣扎。

让我简要介绍一下我正在处理的数据类型。在Haskell中，我们将自由选择函子编码为GADT：

data Select f a where
    Pure   :: a -> Select f a
    Select :: Select f (Either a b) -> f (a -> b) -> Select f b

关键是第二个数据构造函数中的存在类型变量b。

我们可以将此定义转换为Coq：

Inductive Select (F : Type -> Type) (A : Set) : Set :=
    Pure   : A -> Select F A
  | MkSelect : forall (B : Set), Select F (B + A) -> F (B -> A) -> Select F A.

作为旁注，我使用-impredicative-set选项对其进行编码。

Coq对此数据类型生成以下归纳原理：

Select_ind :
  forall (F : Type -> Type) (P : forall A : Set, Select F A -> Prop),
  (forall (A : Set) (a : A), P A (Pure a)) ->
  (forall (A B : Set) (s : Select F (B + A)), P (B + A)%type s ->
     forall f0 : F (B -> A), P A (MkSelect s f0)) ->
  forall (A : Set) (s : Select F A), P A s

在这里，有趣的是谓词P : forall A : Set, Select F A -> Prop，它不仅在表达式中，而且在expressions类型参数中都参数化。据我了解，归纳原理之所以具有这种特殊形式，是因为MkSelect类型的Select F (B + A)构造函数的第一个参数。

现在，我想证明已定义数据类型的类似第三条适用法律的陈述：

Theorem Select_Applicative_law3
        `{FunctorLaws F} :
  forall (A B : Set) (u : Select F (A -> B)) (y : A),
  u <*> pure y = pure (fun f => f y) <*> u.

其中涉及类型Select F (A -> B)的值，即包含函数的表达式。然而，在此类变量上调用induction会产生类型错误的字词。考虑一个过分简化的等式示例，该示例可以由reflexivity证明，但不能使用induction证明：

Lemma Select_induction_fail `{Functor F} :
  forall (A B : Set) (a : A) (x : Select F (A -> B)),
    Select_map (fun f => f a) x = Select_map (fun f => f a) x.
Proof.
  induction x.

Coq报错：

Error: Abstracting over the terms "P" and "x" leads to a term
fun (P0 : Set) (x0 : Select F P0) =>
  Select_map (fun f : P0 => f a) x0 = Select_map (fun f : P0 => f a) x0
which is ill-typed.
Reason is: Illegal application (Non-functional construction):
The expression "f" of type "P0" cannot be applied to the term
 "a" : "A"

在这里，Coq无法构造在类型变量上抽象的谓词，因为语句中的反向函数应用程序类型错误。

我的问题是，如何在数据类型上使用归纳法？我看不到如何以这种方式修改归纳原理的方法，这样谓词就不会抽象该类型。我尝试使用dependent induction，但是它一直在产生归纳假设，受类似于(A -> B -> C) = (X + (A -> B -> C))的等式约束，我认为无法实例化。

请在GitHub上查看完整的示例：https://github.com/tuura/selective-theory-coq/blob/impredicative-set/src/Control/Selective/RigidImpredSetMinimal.v

Answer 1

归纳证明是由递归定义驱动的。因此，要知道要应用归纳法，请寻找Fixpoint。

您的Fixpoint最有可能使用由单一类型变量Select F A索引的字词，这正是您要使用归纳法的地方，而不是目标的最高层次。

由功能类型Fixpoint索引的术语上的A -> B是没有用的，因为没有任何Select术语的子项被函数类型索引。出于同样的原因，induction在这种情况下是没有用的。

在这里，我认为强类型练习实际上会迫使您在尝试用Coq进行任何操作之前先将所有内容写在纸上（在我看来这是一件好事）。尝试在纸上做证明，甚至不用担心类型；明确写下您想通过归纳证明的谓词。这是了解我意思的模板：

通过对u的归纳，我们将显示
 u <*> pure x = pure (fun f => f x) <*> u

    (* Dummy induction predicate for the sake of example. *)
    (* Find the right one. *)
    (* It may use quantifiers... *)
基本情况（设置u = Pure f）。证明：
Pure f <*> pure x = pure (fun f => f x) <*> Pure f
归纳步骤（设置u = MkSelect v h）。证明：
MkSelect v h <*> pure x = pure (fun f => f x) <*> MkSelect v h
假设子项v（集合u = v）的归纳假设：
v <*> pure x = pure (fun f => f x) <*> v

尤其要注意，最后一个方程式的类型错误，但您仍然可以与它一起进行方程式推理。无论如何，可能会发现在简化目标之后无法应用该假设。

如果您确实需要使用Coq进行一些探索，则有一个技巧，包括删除有问题的类型参数（以及所有依赖于该参数的术语）。根据您对Coq的熟悉程度，该提示可能比什么都更令人困惑。因此请小心。

这些术语仍将具有相同的递归结构。请记住，证明也应遵循相同的结构，因为这样做的目的是在事后在顶部添加更多类型，因此，如果可以的话，应避免依赖于缺少类型的快捷方式。

(* Replace all A and B by unit. *)
Inductive Select_ (F : unit -> Type) : Set :=
| Pure_ : unit -> Select_ F
| MkSelect_ : Select_ F -> F tt -> Select_ F
.

Arguments Pure_ {F}.
Arguments MkSelect_ {F}.

(* Example translating Select_map. The Functor f constraint gets replaced with a dummy function argument. *)
                                        (*      forall A B, (A -> B) -> (F A -> F B) *)
Fixpoint Select_map_ {F : unit -> Type} (fmap : forall t,   unit     -> (F t -> F t)) (f : unit -> unit) (v : Select_ F) : Select_ F :=
  match v with
  | Pure_ a => Pure_ (f a)
  | MkSelect_ w h => MkSelect_ (Select_map_ fmap f w) (fmap _ tt h)
  end.

以此为例，您可以尝试证明该修整后的仿函数定律，例如：

Select_map_ fmap f (Select_map_ fmap g v) = Select_map_ fmap (fun x => f (g x)) v

(* Original theorem:

Select_map f (Select_map g v) = Select_map (fun x => f (g x)) v

*)

关键是删除参数避免了相关的键入问题，因此您可以尝试天真地使用归纳法来了解事情（不）如何解决。

对具有非统一类型参数的数据类型进行归纳会产生错误类型的术语

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