Question

对于我当前的项目，我需要能够使用GF（2）中的条目来计算64 * 64矩阵的等级。我想知道是否有人有一个好的解决方案。

为此，我一直在使用pyfinite，但由于它是纯python实现，所以速度相当慢。我还尝试将我一直在使用的代码进行cythonise，但是由于依赖pyfinite而出现了问题。

我的下一个想法是用cython编写我自己的课程，但这似乎对我所需要的有些过大。

我需要以下功能

matrix = GF2Matrix(size=64) # creating a 64*64 matrix
matrix.setRow(i, [1,0,1....,1]) # set row using list
matrix += matrix2 # addition of matrices
rank(matrix) # then computing the rank

感谢任何想法。

Answer 1

有效表示GF（2）上的矩阵的一种方法是将行存储为整数，将每个整数解释为位字符串。例如4×4矩阵

[0 1 1 0]
[1 0 1 1]
[0 0 1 0]
[1 0 0 1]

（具有3级）可以表示为整数列表[6, 13, 4, 9]。在这里，我认为第一列与整数的最低有效位相对应，而最后一列与最高有效位相对应，但是相反的约定也适用。

使用这种表示形式，可以使用Python的按位整数运算有效地执行行运算：^用于加法，&用于乘法。然后，您可以使用标准的高斯消去方法来计算等级。

这是一些相当有效的代码。给定如上所述表示矩阵的非负整数的集合rows，我们重复删除列表中的最后一行，然后使用该行从该列中消除所有1条目，这些列对应于其最低有效位。如果该行为零，则它没有最低有效位，也不会影响排名，因此我们只需要丢弃它并继续前进即可。

def gf2_rank(rows):
    """
    Find rank of a matrix over GF2.

    The rows of the matrix are given as nonnegative integers, thought
    of as bit-strings.

    This function modifies the input list. Use gf2_rank(rows.copy())
    instead of gf2_rank(rows) to avoid modifying rows.
    """
    rank = 0
    while rows:
        pivot_row = rows.pop()
        if pivot_row:
            rank += 1
            lsb = pivot_row & -pivot_row
            for index, row in enumerate(rows):
                if row & lsb:
                    rows[index] = row ^ pivot_row
    return rank

让我们对GF2上的随机64 x 64矩阵进行一些计时。 random_matrices是用于创建随机的64 x 64矩阵集合的函数：

import random

def random_matrix():
    return [random.getrandbits(64) for row in range(64)]

def random_matrices(count):
    return [random_matrix() for _ in range(count)]

这是计时代码：

import timeit

count = 1000
number = 10
timer = timeit.Timer(
    setup="ms = random_matrices({})".format(count),
    stmt="[gf2_rank(m.copy()) for m in ms]",
    globals=globals())
print(min(timer.repeat(number=number)) / count / number)

在我的机器（2.7 GHz Intel Core i7，macOS 10.14.5，Python 3.7）上打印的结果是0.0001984686384，因此对于单级计算而言，这是不到200µs的时间。

200µs对于纯Python等级计算而言是相当可观的，但是如果这还不够快，我们可以按照您的建议使用Cython。这是一个Cython函数，该函数采用dtype np.uint64的1d NumPy数组，再次将数组的每个元素都视为GF2上64×64矩阵的一行，并返回该矩阵的秩。 >

# cython: language_level=3, boundscheck=False

from libc.stdint cimport uint64_t, int64_t

def gf2_rank(uint64_t[:] rows):
    """
    Find rank of a matrix over GF2.

    The matrix can have no more than 64 columns, and is represented
    as a 1d NumPy array of dtype `np.uint64`. As before, each integer
    in the array is thought of as a bit-string to give a row of the
    matrix over GF2.

    This function modifies the input array.
    """
    cdef size_t i, j, nrows, rank
    cdef uint64_t pivot_row, row, lsb

    nrows = rows.shape[0]

    rank = 0
    for i in range(nrows):
        pivot_row = rows[i]
        if pivot_row:
            rank += 1
            lsb = pivot_row & -pivot_row
            for j in range(i + 1, nrows):
                row = rows[j]
                if row & lsb:
                    rows[j] = row ^ pivot_row

    return rank

运行64 x 64矩阵的等效时序，现在表示为dtype np.uint64和形状(64,)的NumPy数组，我得到的平均秩计算时间为7.56µs，快了25倍比纯Python版本要好。

通过GF（2）

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