Question

您好，我一直在研究https://leetcode.com/problems/2-keys-keyboard/，并遇到了这个动态编程问题。

在空白页上以“ A”开头，完成后得到数字n，则页面上应有n倍“ A”。要注意的是，您只能进行2次操作复制（并且您只能复制页面上当前的A总数）并粘贴->查找在页面上获得n个“ A”的最小操作数。

我解决了这个问题，但随后在leetcode的讨论部分找到了一个更好的解决方案->我不知道它的时间复杂度。

    def minSteps(self, n):
        factors = 0
        i=2
        while i <= n:
            while n % i == 0:
                factors += i
                n /= i
            i+=1
        return factors

i的工作方式永远不会比p的最大素数n大，因此外部循环为O(p)，内部while循环为基本上是O(logn)，因为我们在每次迭代中都将n /= i除。

但是从我的角度来看，我们对内循环总计O(logn)进行除法，而对外循环O(p)进行除法，因此使用聚合分析此函数基本上是O(max(p, logn))，是这样的是吗？

欢迎任何帮助。

Answer 1

您的推理是正确的： O（max（p，logn））给出了时间复杂度，假设算术运算需要固定的时间。对于任意大 n 来说，这种假设是不正确的，它不适合机器的固定大小的数字存储，并且您需要具有non-constant时间复杂度的Big-Integer运算。但是我会忽略这一点。

当不是输入（而是从输入中得出）时，用 p 表示复杂性仍然很奇怪。您的输入仅为 n ，因此仅用 n 表示复杂性就很有意义。

最坏的情况

很明显，当 n 为素数时，算法为 O（n） －内部循环永远不会迭代。

对于素数 n ，该算法将比 n + 1 花费更多的时间，因为即使 n + 1 的最小因子也是如此。（即2），将使外循环的迭代次数减半，而在内循环中仅添加1块恒定功。

所以 O（n）是最坏的情况。

平均情况

对于一般情况，我们注意到 n 的除法次数是 n 具有主要因子的次数（计算重复项）。例如，对于 n = 12 ，我们有3个除法，即 n = 2·2·3

1 的average number of prime factors接近 loglogn + B ，其中 B 是一个常数。因此，我们可以说整个内循环执行的平均时间复杂度是 O（loglogn）。

我们需要添加外循环的执行。这对应于平均 greatst 质数因子。对于 1 this average approaches C.n/logn，我们有：

O（n / logn + loglogn）

现在 n / logn 是这里更重要的术语，因此可以简化为：

O（n / logn）

这个难题（解决leetcode问题650）（问题2）的时间复杂度是多少？

1 个答案:

最坏的情况

平均情况