Question

如何在Coq中完全根据归纳类型创建正确的状态机（没有以无效方式构造状态机的方法）？

从类似的东西开始

Inductive Cmd :=
| Open
| Send
| Close.

Inductive SocketState :=
| Ready
| Opened
| Closed.

例如，从“就绪”到“已打开”的转换应该仅在“打开”命令之后发生。

Answer 1

来自the formal definition of deterministic finite state machine：

确定性有限自动机M是5元组Q, Sigma, delta, q0, F，由以下组成：


一组有限的状态Q

一组有限的输入符号，称为字母Sigma

转换函数delta：Q * Sigma -> Q

q0中的初始状态Q

一组接受状态F是Q的子集

您给了五分之二，即Q = SocketState和Sigma = Cmd。假设您的应用程序具有隐式初始状态（可能为Ready）并且没有特定的“接受状态”，那么状态机唯一需要的就是转换函数。

根据定义，过渡函数的类型为(SocketState * Cmd) -> SocketState，但咖喱版本SocketState -> Cmd -> SocketState同样强大。

如果状态机具有外部输入，请将其作为参数添加到函数中。如果您想要副作用，或与转换本身相关的某种输出，则可以使用SocketState -> Cmd -> (SomeOutput * SocketState)。

编辑：过渡为一种关系（扩展为keep_learning's answer）

如果要推理一系列 valid 命令和转换，则可能需要将其编码为三元关系。

首先，让我们定义有效转换的构成。

Previous state -> (Command) -> Next state
-----------------------------------------
Ready          -> (Open)    -> Opened
Opened         -> (Send)    -> Opened
Opened         -> (Close)   -> Closed

然后，将其编码为三元关系。以下仅是示例，类似于编程语言模型中的Hoare triples。

Inductive Transition : SocketState -> Cmd -> SocketState -> Prop :=
  | t_open  : Transition Ready  Open  Opened
  | t_send  : Transition Opened Send  Opened
  | t_close : Transition Opened Close Closed.

以上讨论了单个过渡。过渡的系列怎么样？我们可以定义反射自传递闭包，并使用list个命令（这非常类似于Hoare三元组，在某种意义上，它们都定义了一个前提条件，一系列步骤和一个后置条件）：

From Coq Require Import List.
Import ListNotations.

Inductive TransitionRTC : SocketState -> list Cmd -> SocketState -> Prop :=
  | t_rtc_refl : forall s : SocketState, TransitionRTC s [] s
  | t_rtc_trans1 : forall s1 c s2 clist s3,
      Transition s1 c s2 ->
      TransitionRTC s2 clist s3 ->
      TransitionRTC s1 (c :: clist) s3.

RTC关系的函数类似物是（与Haskell的fold_left或Ocaml的foldl相比，Coq中的fold_left交换了最后两个参数）：

Axiom transition : SocketState -> Cmd -> SocketState.
Definition multistep_transition (state0 : SocketState) (clist : list Cmd) :=
  fold_left transition clist state0.

Answer 2

您可以将规则（转换函数）编码为归纳数据类型。

Inductive Valid_transition : SocketState -> SocketState  -> Type :=
| copen x : x = Open -> Valid_transition Ready Opened (* Input command Open *)
| cready x y : x = Send -> Valid_transition y Opened ->
             Valid_transition Opened Opened (* Send command would not change the 
                                               status of port *)
| cclose x y : x = Close -> Valid_transition y Opened ->
             Valid_transition Opened Closed. (* Close command would close it *)


Check (cready Send _ eq_refl (copen Open eq_refl)).

从“就绪”转换为“打开”的唯一方法是使用“打开”命令的第一个构造函数。第二个构造函数指出，如果您的命令是Send，并且您处于Opened状态，那么您将继续保持此状态。最后，第三个构造函数在收到“关闭”命令后关闭打开的端口。我已经编码了一个与您类似的转换函数（将其计为状态机），请随时查看[1]。

[1] https://github.com/mukeshtiwari/EncryptionSchulze/blob/master/code/Workingcode/EncryptionSchulze.v#L718-L740

如何从Coq中的归纳类型创建状态机？

2 个答案:

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