我目前正在使用两种方法来计算谐波序列的部分和：
困扰我的问题是：double精确到小数点后15位，long double精确到小数点后19位。我正在处理从5到大约50的部分和。例如，要达到5的总和，您需要大约83个谐波系列的成员，而要达到50的总和，您需要大约2911068851283175669760的成员。谐波系列。我目前正在使用double。
在计算较大的总和（例如> 20）时，使用迭代和公式计算此类总和是否会失去准确性？
如果是这样，使用一些高精度库是否有好处？
答案 0 :(得分：1)
使用任何可以为（无界）大整数和分数提供精确算术的语言，我们可以尝试使用非常幼稚的代码轻松评估舍入误差，至少对于小n而言（精确算术可能会变得令人望而却步）
我将在此处任意选择Squeak Smalltalk进行说明。
首先，让我们定义一个闭包，该闭包将返回确切的部分和
hn := [:n | (1 to: n) detectSum: [:i | i reciprocal]].
然后另一个将以较小的项开始的迭代返回Float（双精度）：
fn := [:n | (n to: 1 by: -1) detectSum: [:i | i asFloat reciprocal]].
现在，另一个闭包将根据ulp来估计错误：
un := [:n | | f | ((f := fn value: n) asFraction - (hn value: n)) abs / f ulp].
现在，让我们搜索前1000个部分和的最坏情况：
i := (1 to: 1000) detectMax: [:n | un value: n ].
{i. un value: i}.
结果为#(807 6.101840327204507)，H807的错误约为6 ulp。您所看到的并不多。
如果我们首先尝试对更大的谐波求和：
fn := [:n | (1 to: n) detectSum: [:i | i asFloat reciprocal]].
然后结果是#(471 5.714808765246509)，5.7 ulp，少感到惊讶。
我们可以尝试使用后面的fn来进一步了解：
un value: 10000.
-> 1.8242087614993667
使用记忆，我发现100,000个第一学期（H〜7）的最大误差约为54 ulp，如果从较小的术语开始更仔细地求和，则误差约为26 ulp。
因此，多达数千个术语，没有用较小的术语开始求和（如果要扫描增加，则启用记忆），也不需要使用Kahan求和，除非您真的很在意最后几个ulp。
Kahan将成为数百万至数十亿个术语的有趣对象，但是对于较大的和，如果您近似欧拉·马斯切罗尼，公式将变得更快，更准确，自然对数永远不会超过几个。但是您应该显示代码，否则这仅仅是猜测。
例如，这种幼稚的二阶公式
fn := [:n | n ln + (0.5772156649015328606 + ((n*2.0) reciprocal - (n squared*12.0) reciprocal))].
对于较小的n值，将给出大约5.5 ulp的误差，但是对于MacOs libm良好的100,000，其误差小于100,000的1.5 ulp。