Question

我正在尝试在业余时间编写光线跟踪器。当前正在尝试进行射线边界平面相交。

我的程序已经在无限平面上工作。我正在尝试为非无限平面计算数学。尝试过使用google，但是所有资源都只讨论无限平面。

我的飞机有一个拐角点（称为位置），两个矢量（u和v）从拐角点延伸（它们的长度对应于边的长度）。射线具有原点和方向。

首先，我用公式计算出一个无限平面的交点

t = normal * (position - origin) / (normal * direction)

法线被计算为u和v的叉积。然后加上公式

origin + direction * t

我得到了交点本身。

下一步是检查此点是否在矩形的边界内，这就是我遇到的问题。

我的想法是获得从平面角到交点延伸的相对矢量intersection - position，然后将其转换为u，法线和v的新基，然后检查转换后的向量比u和v向量要短。

bool BoundedPlane::intersect(const Vec3f &origin, const Vec3f &direction, float &t) const {
    t = normal * (position - origin) / (normal * direction);
    Vec3f relative = (origin + direction * t) - position;

    Mat3f transform{
        Vec3f(u.x, normal.x, v.x),
        Vec3f(u.y, normal.y, v.y),
        Vec3f(u.z, normal.z, v.z)
    };

    Vec3f local = transform.mul(relative);
    return t > 0 && local.x >= 0 && local.x <= u.x && local.z <= 0 && local.z <= v.z;

}

最后，我检查t是否大于0，这意味着交点在相机的前面，并且向量的长度是否在边界之内。这给了我一条怪异的线：

weird line 。

飞机应显示在球体下方，如下所示：

like this

（用于手动检查以查看数字是否正确显示是否正确）。

我不确定自己在做什么错，是否有更简便的方法来检查界限。预先感谢。

编辑1：

我将转换矩阵计算移到了构造函数中，所以交集测试是：

bool BoundedPlane::intersect(const Vec3f &origin, const Vec3f &direction, float &t) const {
    if (!InfinitePlane::intersect(origin, direction, t)) {
        return false;
    }

    Vec3f local = transform.mul((origin + direction * t) - position);

    return local.x >= 0 && local.x <= 1 && local.z >= 0 && local.z <= 1;
}

变换成员是变换矩阵的逆。

Answer 1

我可以建议另一种方法吗？考虑原点的框架 position和基向量

u = { u.x, u.y, u.z }  
v = { v.x, v.y, v.z }  
direction = { direction.x, direction.y, direction.z}

步骤1：形成矩阵

M = {
      {u.x,  v.x,  direction.x},
      {u.y,  v.y,  direction.y},
      {u.z,  v.z,  direction.z} 
    }

步骤2：计算向量w，它是3 x 3线性方程组系统的解决方案

M * w = origin - position，即

w = inverse(M) * (origin - position);

确保direction与u, v不共面，否则不存在交点且inverse(M)不存在。

步骤3：，如果0.0 <= w.x && w.x <= 1.0 && 0.0 <= w.y && w.y <= 1.0，则该线与矢量u, v所跨越的平行四边形相交，并且交点为

w0 = { w.x, w.y , 0 };

intersection = position + M * w0;

否则，该线不与向量u, v跨过的平行四边形相交

此算法的思想是考虑（非正交）帧position, u, v, direction。然后，矩阵M会更改此新帧的坐标中的所有内容。在此框架中，线是垂直的，平行于“ z-”轴，点origin的坐标为w，穿过w的垂直线与平面在{{1 }}。

编辑1：这是3x3矩阵逆矩阵的模板公式：

如果原始矩阵M为

w0

逆是

a  b  c

d  e  f

g  h  i

其中

(1 / det(M)) * { 
                 {e*i - f*h,     c*h - b*i,     b*f - c*e},

                 {f*g - d*i,     a*i - c*g,     c*d - a*f},

                 {d*h - e*g,     b*g - a*h,     a*e - b*d},
                }

是M的决定因素。

因此反演算法可以如下：

给出

det(M) = a*(e*i - f*h) + b*(f*g - d*i) + c*(d*h - e*h)

计算

M = {
      {a,  b,  c},
      {d,  e,  f},
      {g,  h,  i},
    }

计算

inv_M = { 
           {e*i - f*h,     c*h - b*i,     b*f - c*e},

           {f*g - d*i,     a*i - c*g,     c*d - a*f},

           {d*h - e*g,     b*g - a*h,     a*e - b*d},
         };

M的返回逆矩阵

det_M = a*inv_M[1][1] + b*inv_M[2][1] + c*inv_M[3][1];

编辑2：让我们尝试另一种方法以加快处理速度。

步骤1：对于由点inv_M = (1/det_M) * inv_M;以及两个向量position和u确定的每个平面，预先计算以下数量：

步骤2：现在，对于给定的点normal = cross(u, v); u_dot_u = dot(u, u); u_dot_v = dot(u, v); v_dot_v = dot(v, v); // all these need to be computed only once for the u and v vectors det = u_dot_u * v_dot_v - u_dot_v * u_dot_v; // again only once per u and v和方向origin的线，像以前一样，计算与平面的交点direction由int_point和u撰写：

第3步：计算

t = dot(normal,  position - origin) / dot(normal, direction);

int_point = origin + t * direction;

rhs = int_point - position;

第4步：

u_dot_rhs = dot(u, rhs);

v_dot_rhs = dot(v, rhs);

w1 = (v_dot_v * u_dot_rhs - u_dot_v * v_dot_rhs) / det;

w2 = (- u_dot_v * u_dot_rhs + u_dot_u * v_dot_rhs) / det;

所以我在这里所做的基本上是找到线if (0 < = w1 && w1 <= 1 && 0 < = w2 && w2 <= 1 ){ int_point is in the parallelogram; } else{ int_point is not in the parallelogram; }与origin, direction给定的平面的交点并将自己限制在该平面上，这使我可以在2D而不是3D中工作。我代表

position,  u,  v

并通过将该向量表达式与基础向量int_point = position + w1 * u + w2 * v; rhs = int_point - position = w1 * u + w2 * v和w1进行点乘来找到w2和u，这将导致2x2线性系统直接解决。

光线绑定平面相交

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