以最低成本遍历无向加权图的k个节点（并返回原​​点）的算法

Question

我正在寻找一种算法来执行以下操作：

In an undirected, weighted graph with cycles

-find a path that visits exactly k nodes
-minimize the total cost(weight)
-each node can be visited only once
-return to the origin

edit: The start (and end) vertex is set in advance.

如果我想访问所有节点，则Traveling Salesman算法（及其所有变体）将起作用。但以我为例，“推销员”需要在访问 k 节点后返回家。

在这种情况下，近似算法和精确算法都可以。

Answer 1

由于您的问题包括k = n的TSP，通常作为特殊情况，它将是NP完全的。对于小k，您可以采用Bellmann（1962）的动态编程解决方案在O（2 ^ k n ^ 3）的时间内求解。

让T（u，S）为从顶点u开始的最短路径的长度，其中顶点S已经访问过。然后，您希望在所有起始顶点u0上最小的T（u0，{u0}）。 T满足复发

T(u,S) = min { d(u,v)+T(v,S+{v}) | v in V\S }     if |S|<k
T(u,S) = d(u,u0)                                  if |S|=k

表示距离d（u，v）。 DP表具有2 ^ kn个条目，每个条目花费O（n）时间来计算，并且对于每个起始顶点，您必须对其进行n次计算。