用户绘制圆的凸包

Question

我正在开发一款游戏，其中我必须找到一组凸点的凸包。我正在尝试选择正确的算法。这些点集是用户绘制的形状，因此它们具有顺序。理想情况下，用户绘制椭圆，但是只要是单个笔划，他们就可以绘制任何东西。下面是一些示例：

我想找到这些形状的凸包。我发现的所有凸包算法都假设一个随机无序的点集。当用户通过单击并拖动鼠标绘制点时，哪种算法最适合我的特定情况，因此这些点是有序的。

注意：

特别是，许多是输出敏感算法。 O（n log h），其中n是所有点集（原始点）中的点数，h是凸包中的点集。对于这些形状，我希望h〜= n，因为它们基本上是它们自身的轮廓。

最后，此方法的总体目标是找到这些点的最小面积矩形，例如：

除了首先找到凸包之外，还有谁能想到找到矩形的更好方法？经过研究，这似乎是最好的方法，但是我的特殊情况可能有所不同。

提前谢谢！

Answer 1

远离使用O（N Log H）算法。他们既困难又缓慢！

使用O（N Log N）是更好的选择。我建议您轻松快捷地使用monotone chain方法。

您不必担心复杂度顺序O（N Log N），这仅是由于排序阶段而已。额外的Log N / Log H因子不是那么灾难性（凸点集不存在），而排序的渐近常数非常好。

如果您追求最高效率，则点的特定排列方式建议使用另一种方法：这些点将形成长的递增（递减）序列，您可以通过合并步骤轻松地对其进行检测和排序。复杂度下降到O（N Log K），其中K是单调序列的数目，因此实际上是O（N）（这称为自然合并排序）。

与Melkman O（N）算法的用例相距不远，该算法可用于简单多边形的船体。不幸的是，简单性条件可能会在曲线的闭合附近失效，并且我认为没有简单的方法可以解决该问题。

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对于边界矩形，旋转卡尺绝对是您最好的朋友。

Answer 2

要找到在特定方向上对齐的最小封闭矩形，您需要知道该方向和正交方向上的极端点，凸包以一种特别方便的方式（例如旋转卡尺）对这些信息进行编码。如果您愿意近似，则可以每5度（或任意角度）尝试一次方向，运行时间为O（nd），其中d是方向数。如果您有SIMD支持，那么它可以很好地工作。

Answer 3

我只是想知道如果应用以下方法会发生什么：

将多边形视为2 x N矩阵

inets

其中每列包含多边形顶点的x和y坐标。然后，针对说P = [x1, x2, ..., xN; y1, y2, ..., yN]; 和phi之间的任何角度0定义旋转矩阵

pi/2

然后，通过乘以矩阵将多边形旋转到phi角

U(phi) = [cos(phi) -sin(phi);
          sin(phi)  cos(phi)];

然后是功能

P_phi = U(phi)*P;

是水平和垂直边缘的矩形区域，在旋转的多边形f(phi) = ( max( P_phi[1][] ) - min( P_phi[1][] ) )*( max( P_phi[2][] ) - min( P_phi[2][] ) ) 周围重叠。这里P(phi)是矩阵P_phi的x坐标的第一行，P_phi[1][]是y坐标的第二行。 因此，您要查找角度对齐的矩形的角度P_phi[2][]和在2 x 4矩阵phi中收集的顶点，该矩形给出函数的最小值 R_phi代表f(phi)，因为这是在多边形周围叠加的最小面积矩形的面积。找到phi in [0, pi/2]和phi之后 如下旋转 R_phi，这是您要寻找的矩形。

我不确定该建议是否有效...