我正在尝试在Coq中使用以下函数来实现使用n个元素构建Braun树的函数，但是Coq给了我一个错误，它无法猜测fix参数的减小：
SELECT phone
FROM members
WHERE phone REGEXP '^[[:alpha:]]+$'
我知道不是问题出现在偶数和奇数情况下，因为当我删除偶数/奇数情况时，它给出了相同的错误：
Fixpoint copy (x : V) (n : nat) : BraunTree :=
let
fix copy2 (a : V) (i : nat) : (BraunTree * BraunTree) :=
match i with
| 0 => (T a E E,E)
| _ => match Nat.odd i with
| true => let m := ((i - 1) / 2) in
let (s,t) := copy2 a m in
((T a s t),(T a t t))
| false => let m := ((i - 2) / 2) in
let (s,t) := copy2 a m in
((T a s s),(T a s t))
end
end
in
match copy2 x n with
|(_,snd) => snd
end.
我怎样才能说服Coq我实际上是在减少争论？
BraunTree的编辑类型：
Fixpoint copy (x : V) (n : nat) : BraunTree :=
let
fix copy2 (a : V) (i : nat) : (BraunTree * BraunTree) :=
match i with
| 0 => (T a E E,E)
| _ => let m := ((i - 1) / 2) in
let (s,t) := copy2 a m in
((T a s t),(T a t t))
end
in
match copy2 x n with
|(_,snd) => snd
end.
答案 0 :(得分：4)
Fixpoint / fix仅允许对语法上较小的参数进行递归调用。
Fixpoint example (n : nat) :=
... (* There must be a match on [n] somewhere *)
... match n with
| O => base_case (* no recursive call allowed *)
| S m =>
... (example m)
(* We can only call [example] on [m], or some even smaller value obtained by matching on [m] *)
end ...
尤其是，不允许对通过某些任意函数（在这种情况下，div中的sub和copy2 a ((i-1) / 2)获得的值进行递归调用。
这是三个选项：
选择自然数的另一种表示形式，以便其上的模式匹配自然分解为所需定义的不同分支（基本情况（零），偶数，奇数）。
利用递归深度实际上受n限制的事实，因此我们可以将n用作“燃料”，我们知道在完成之前实际上并不会耗尽它。 / p>
巧妙地提取出递减参数的子项以进行递归调用。与以前的解决方案相比，此解决方案的通用性和鲁棒性较低。与终止检查器的对抗要困难得多。
我们有三种情况：零，偶数和奇数。幸运的是，标准库的类型具有几乎相同的结构，positive：
Inductive positive := (* p > 0 *)
| xH (* 1 *)
| xI (p : positive) (* 2p + 1 *)
| xO (p : positive) (* 2p *)
.
将类型positive指向一个额外的零，我们得到N：
Inductive N :=
| N0 (* 0 *)
| Npos (p : positive) (* p > 0 *)
.
还有一个转换函数N.of_nat : nat -> N，尽管如果转换变得很烦人，最好在各处使用N而不是nat，
最终定义是从对N的案例分析开始的，揭示positive数字的案例是用fix点处理的，基本案例是1而不是0。我们必须转移一些细节，因为偶数情况是2p而不是2p + 2，因此我们必须做（i-1，i）而不是一对大小为（i + 1，i）的树。但是总的来说，递归案例仍然很自然地符合非正式规范：
Require Import NArith PArith.
Parameter V : Type.
Inductive BraunTree : Type :=
| E : BraunTree
| T: V -> BraunTree -> BraunTree -> BraunTree.
Definition copy (x : V) (n : N) : BraunTree :=
match n with
| N0 => E
| Npos p =>
let
(* copy2 a i : a tree of (i-1) copies of a, and another of i copies of a *)
fix copy2 (a : V) (i : positive) : (BraunTree * BraunTree) :=
match i with
| xH => (* i = 1 *)
(E, T a E E)
| xI p => (* i = 2p + 1 *)
let (s,t) := copy2 a p in
((T a t s),(T a t t))
| xO p => (* i = 2p *)
let (s,t) := copy2 a p in
((T a s s),(T a t s))
end
in
match copy2 x p with
|(_,snd) => snd
end
end.
我们向fix添加燃料作为递减参数。如果n = i = 0，我们就用光了，所以我们知道结果应该是什么。
(* note: This doesn't need to be a Fixpoint *)
Definition copy (x : V) (n : nat) : BraunTree :=
let
fix copy2 (a : V) (n : nat) (i : nat) : (BraunTree * BraunTree) :=
match n with
| O => (T a E E,E)
| S n' =>
match i with
| O => (T a E E,E)
| _ =>
if Nat.odd i then
let m := div2 ((i - 1) / 2) in
let (s,t) := copy2 a n' m in
((T a s t),(T a t t))
else
let m := div2 ((i - 2) / 2) in
let (s,t) := copy2 a n' m in
((T a s s),(T a s t))
end
end
in
match copy2 x n n with
|(_,snd) => snd
end.
在以下情况下效果很好：
如果这两个假设中的任何一个都不成立，则需要用option填充代码。
如前所述，Coq对于减少参数有严格的规定。通常的解释是，我们只能递归调用通过递减参数（或传递式，其子项之一）通过模式匹配获得的子项。
一个明显的限制是，因为条件是句法上的（即Coq查看定义以跟踪递减参数的出处），所以参数n最多只能减少一个常数（与相对于n），因为在定义中只有match个有限。特别是，无法对除以2的结果进行递归调用，因为这表示减少n/2，即n中线性的值。
不管好坏，Coq的终止标准实际上比这聪明一点：可以将递减的参数传递给嵌套的固定点，然后通过它跟踪“子项”关系。
实际上，Peano nat的除法可以这样定义：Coq可以判断结果是股息的子项：
Definition div2 (n : nat) :=
let fix d2 (n1 : nat) (n2 : nat) {struct n1} :=
match n2 with
| S (S n2') =>
match n1 with
| O => n1
| S n1' => d2 n1' n2'
end
| _ => n1
end
in d2 n n.
这个想法是写一个fix的两个参数点（有点像燃料解决方案），它们的起点是相等的（d2 n n），我们删除了两个我们从另一个（S中删除的每个一个 n2中的一个S中的n1个构造函数。重要详细信息：
在所有非递归情况下，我们返回n1（无论如何返回 not 0），然后保证它是以下条件的子项最顶部的n。
并且该函数必须在n1（我们返回的术语）中递减，而不是在n2（Coq仅跟踪递减参数的子项）中递减。
确保div2 n是n的子项（不是 strict子项（或 proper子项））的所有原因，因为{{1 }}可以是n。
这与以前的基于燃料的解决方案有相似之处，但是在这里，递减的论点比欺骗类型检查器的设备更为重要。
这项技术是无缺点编程的一种变体。 （请注意，尽管约束条件与文献中讨论的约束条件并不完全相同，例如，当重点是避免内存分配而不是通过结构井来确保终止时，基础。）
O的定义一旦有了copy，我们就可以通过一些调整来定义div2，以获得copy和i-1作为{{的正确子项 1}}，再次通过模式匹配。下面，i-2和i是i'的适当子项（通过目视检查），i''和i是div2 i'和{ {1}}（根据div2 i''的定义）。通过传递性，它们是i'的适当子项，因此终止检查器接受。
i''