Question

考虑以下修复点：

Require Import Coq.Lists.List.
Import ListNotations.

Inductive my_type: Type:=
| Left: my_type
| Right: my_type
.

Fixpoint decrease (which: my_type) (left right: list my_type) : list my_type :=
match which with
| Left =>
  match left with
  | [] => []
  | a::tl => decrease a tl right
  end
| Right =>
  match right with
  | [] => []
  | a::tl => decrease a left tl
  end
end.

Coq拒绝以下修复点，因为它无法猜测减少的修复点（有时left列表会失去它的头部，有时它是right列表。

此answer表示可以使用Program Fixpoint并指定{measure ((length left)+(length right))}来解决此问题。

我的问题是：

常规Fixpoint和Program Fixpoint之间有什么区别？
是否可以在常规Fixpoint中明确减少参数？
Next Obligation目标是什么？

Answer 1

Coq中的Fixpoint命令使用Coq的原语fix构造递归函数，该函数检查结构递归以确保终止。这是Coq中唯一的递归，所有其他技术最终都是某种fix。

Program Fixpoint是Program的一个特性，它允许以稍微扩展的语言编写定义，然后将其编译为Coq定义。 Program Fixpoint接受任何递归函数，生成一个适当的证明义务，显示函数终止（通过减少每个递归子查询的一些参数），然后将定义和终止证明打包成一个结构上减少的Coq定义一个论点。如果这听起来很神奇，那么CPDT可以很好地解释如何进行这种编码。
是的，您可以添加{struct arg}注释以明确指定哪个参数在结构上正在减少：Fixpoint decrease (which: my_type) (left right: list my_type) {struct right} : list my_type。这对你的例子没有帮助，因为你的函数通常不会在结构上减少任何一个参数。所有原始fix构造都有struct注释，但Coq通常可以在您编写Fixpoint时自动推断它。例如，这里是Nat.add：
```
Nat.add = 
  fix add (n m : nat) {struct n} : nat :=
  match n with
  | 0 => m
  | S p => S (add p m)
  end : nat -> nat -> nat
```
从Next Obligation Program Fixpoint获得两种类型的目标：首先，每个子查询的参数较小（使用measure，＆＃34;较小的＆＃34;是使用＆lt; on nats定义，第二，＆＃34;较小＆＃34;关系是有根据的;也就是说，它没有无限下降的越来越小的对象序列。我不确定Program Fixpoint为什么Nat.lt不会自动为Program执行此操作，因为它应该知道相关定理。请注意，PUB/SUB具有的功能不仅仅是更一般的递归，因此它可以生成与这些功能相关的其他目标，具体取决于您编写的定义。

减少参数（以及什么是程序修复点）

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