如何找到在三角形上投影点的正确方法以在网格上画线？

Question

我有网格和2个点- A 和 B 。每个点都位于网格的某个三角形上。主要目标是-使用2个点在网格上绘制 correct 线。当点位于具有不同平面的三角形上时-画线时会遇到问题。

我做什么：

  

CurrentTriangle =点A所在的三角形。

     

CurrentTriangle！=带有B点的三角形：

     

将B投影（ Bp ）移到CurrentTriangle：将 B 移动   -CurrentTriangle.normal *到平面的距离。

     

找到三角形的出口点- ABp 与三角形侧面的交点（将3d坐标转换为2d并找到交点，然后使用重心坐标获得3d交点）。 / p>      

将结果位置移到位置 B ，以查找新的CurrentTriangle。

问题是将位置 B 正确投影到CurrentTriangle的平面上。实际结果：

预期结果（红线）：

Answer 1

使用世界空间坐标（甚至更好的是3D笛卡尔坐标，其原点为相机中心，但无论3D坐标系是什么，都具有表示的所有数据）。假设您知道世界空间中A和B的笛卡尔坐标（基本上将它们的齐次坐标除以它们各自的第四分量，并摆脱第四分量，现在为1）。假设您也知道相机中心的笛卡尔坐标，则将该点称为O。

想法是将由点A，B，O确定的平面与每个三角形相交，从包含A的三角形开始到包含B的三角形结束。

1. 首先，找到平面ABO的法线向量N，该向量是ABO的叉积。 向量OA和OB。

2. 现在，从包含A的三角形开始。

   • 让三角形的顶点U，V和W再次用笛卡尔世界坐标表示。
   • 然后计算向量UV和UW的叉积向量M。
   • 之后，计算N和M的叉积，从而得出向量K。
   • 检查向量AB的K点积是否为正。如果不是，则将K乘以-1。
   • 从点A开始遵循矢量K，直到与三角形UVW的边缘相交。用P表示该点。
   • 作为这些步骤的结果，您选择了一个点P和一个三角形，该三角形与三角形UVW共享P所在的边。

3. 重复以下过程：假设您在三角形UVW处，并且已确定点P的边缘之一（例如，请参见前面的步骤2）。

   • 取向量UV和UW的叉积向量M。
   • 取向量N和M的叉积向量K。
   • 从点P开始遵循向量K，直到您与三角形UVW的边相交（或者，如果您位于最后一个三角形中，则直到到达点B）。用P表示新的交点。
   • 点P位于三角形UVW的三个边缘之一上。取下一个三角形，该三角形与UVW共享P所在的边。将该新三角形称为UVW。
   • 继续进行第3步，直到到达B点所在的三角形UVW。

编辑1： （算法中几何构造的说明）您有垂直于平面N = OA x OB的向量OAB和向量{ {1}}垂直于平面M = UV x UW。然后，两个平面UVW和L的交线OAB位于两个平面上。一方面，UVW位于平面L上并因此投影从点OAB到屏幕上作为一条线。另一方面，O位于三角形L的平面上。因此，线UVW垂直于向量L和N。因此，向量M和K = N x M的叉积向量N垂直于两个向量，因此平行于线M（即向量L与K行对齐。因此，线L（位于三角形L的平面上）由点UVW和向量P定义。

编辑2： （可能是算法的简化）

同样，使用世界空间坐标（甚至更好的是，3D笛卡尔坐标以相机中心为原点，但无论3D坐标系是什么，所有数据都以其中表示）。假设您知道世界空间中A和B的笛卡尔坐标以及三角剖分顶点的所有世界坐标。假设您也知道相机中心的笛卡尔坐标，则将该点称为O。

想法是将由点A，B，O确定的平面与每个三角形相交，从包含A的三角形开始到包含B的三角形结束。

这是几何对齐。从包含A的三角形开始。让三角形的顶点U，V和W再次用笛卡尔世界坐标表示。想法是找到UVW的三个边缘中的哪一个在点P与平面OAB相交，从而AP与AB的点积AP.AB为正数。它基本上是3D线和3D平面的交点的公式。例如，此处的线由点V和W确定，平面为OAB。那么，对于平面OAB上的任何点X，平面的方程都是N.（X-A）= 0。这里 '。'是点积。线方程为X = V + t *（W-V）。因此，将线方程式插入平面方程式时，通过求解t可以找到交点： K 解决t很容易： N.(V + t*(W-V) - A) = 0
因此，OAB和UV之间的交点P为 t = ( N.(A-V) )/( N.(W-V) ) 为确保P在边缘上，即它在U和V之间，我们必须检查N.（W-V）/ = 0和0 <= t <=1。否则，我们移到另一个边缘。

1. 首先，找到平面ABO的法线向量N，它是向量OA和OB的叉积P = V + ((N.(A-V))/( N.(W-V)))*(W-V)。

2. 从包含A的三角形开始。让该三角形具有分别以笛卡尔世界坐标表示的U，V和W顶点。

   • 计算点积N = OA x OB并检查其不等于零。如果是，请选择三角形的另一条边，然后从步骤2的开头重新开始；否则，请重新开始。
   • 计算N.(W-V)。如果t> 1或t <0，则选择UVW的另一个边缘，然后从步骤2的开头重新开始；
   • 计算t = ( N.(A-V) )/( N.(W-V) )；
   • 执行以下检查：（i）计算叉积矢量OA x OP和OP x OB； （ii）计算其点积P = V + t*(W-V)； （iii）检查(OA x OP).(OP x OB)。如果没有，请选择另一条边，然后从步骤2的开头重新开始；
   • 绘制将点A连接到点P的线段；
   • 采用与三角形UVW共享的三角形作为P所在的边。
   • 作为这些步骤的结果，您选择了一个点P和一个三角形，该三角形与三角形UVW共享P所在的边。

3. 重复以下过程：假设您在三角形UVW处，并且已在其边之一上确定了点P，例如说VW（例如，参见前面的步骤2）。我们需要找到平面OAB相交的两条边UV或UW中的哪一条（应在其中一条相交）。首先说一下边缘UV：

   • 计算(OA x OP).(OP x OB) > 0并检查其不等于零。如果是，请选择另一个边沿UW，然后从步骤3的开头重新开始；否则，请重新开始。
   • 计算N.(V-U)。如果t> 1或t <0，则选择另一条边UW并从步骤3的开头重新开始；
   • 计算t = ( N.(A-U) )/( N.(V-U) )；
   • 绘制将旧点连接到新点P的线段（在我们的示例中，第一个在边VW上，第二个在边UV上）；
   • 采用与三角形UVW共享的三角形作为P所在的边。
   • 点P位于三角形UVW的三个边缘之一上。取下一个三角形，该三角形与UVW共享P所在的边。将该新三角形称为UVW。
   • 继续进行第3步，直到到达B点所在的三角形UVW。