对于硬币找零问题（动态编程方法），递归关系中的+1意味着什么？

Question

我看到硬币找零问题。通常，输入为 n （要返回的找零），并且可用面额（以分表示的硬币值） v ₁ 2 1 <... k ;我们的目标是使用最少的硬币数量以 n 美分进行兑换。

我从哥伦比亚大学读this pdf，但我不知道为什么在幻灯片6处，递归关系中有 +1 ：

它代表我们已经使用过的硬币吗？

Answer 1

假设我的教派看起来像这样：d = [1, 5, 10, 25]。我们还假设要返回的更改n为26。这意味着：

C[26] = min{C[26 - d[i]] + 1}

可以表示为：

C[26] = min{C[25], C[21], C[16], C[1]} + 1。

这里的“ +1”只是您需要添加到先前解决的子问题之一（例如C [25]，C [21]）中以获得C [26]的硬币。

如果我们考虑一个更简单的示例（例如n = 6且面额相同），我们知道重复将是：

C[6] = min{C[6 - d[i]]} + 1

或：

C[6] = min{C[5], C[1]} + 1

我们知道C [5]为1（因为在混合货币中面额为5的最小赚取5分的方法是1），并且类似地，C [1] =1。这里的最小值仅为1，所以1 +1 = 2，赚6美分所需的最小硬币数量为2个硬币。

Answer 2

C[p]表示从可用硬币阵列d中构建面额p的最小硬币数量。

因此，要创建这样的总和，您必须选择d[i]这样的硬币d[i]<p。

让我们假设您从d中挑选了一个硬币d [i]。这意味着您现在的硬币数是一个。

现在要使总和为p，请为总和p-d[i]收集更多硬币。

但是您确实已经需要min_coins才能在p-d[i]中产生总和C[p-d[i]]。

这意味着使总和为p的一种可能的硬币计数为1+C[p-d[i]]。

但是在d[i]<p可能存在多种面额的情况下，那么您必须选择一种最小化结果的面额，这正是您的职能所在。

通过这种方式，您可以了解+1的作用是我们考虑用来制作总金额p的第一枚硬币。