如何根据数学期望分配概率

Question

摘要

p1 * cost1 + p2 * cost2 + p3 * cost3 + ... = n
p1 + p2 + p3 + ... = 1

已知

cost1，cost2，cost3，...

n

解决

p1，p2，p3，...

说明

我要去做一个纸牌游戏（逗我玩）。现在我有很多不同价格的卡，例如：

[
    {
        'name': 'card1',
        'cost': 10
    },
    {
        'name': 'card2',
        'cost': 100
    },
    {
        'name': 'card3',
        'cost': 1000
    },
    {
        'name': 'card4',
        'cost': 10000
    },
]

然后，我希望这个游戏的数学期望等于500。所以我有一个想法，将数学期望分为不同的部分，然后分别计算它们的概率。

[
    {
        'name': 'card1',
        'cost': 10,
        'math_expect': 3,
    },
    {
        'name': 'card2',
        'cost': 100,
        'math_expect': 30,
    },
    {
        'name': 'card3',
        'cost': 1000,
        'math_expect': 300,
    },
    {
        'name': 'card4',
        'cost': 10000,
        'math_expect': 167,
    },
]

现在我可以获得每张卡的概率。

p_card1 = 3 / 10  # 0.3
p_card2 = 30 / 100  # 0.3
p_card3 = 300 / 1000  # 0.3
p_card4 = 167 / 10000  # 0.0167
p_sum = p_card1 + p_card2 + p_card3 + p_card4  # 0.9167

如您所见，概率总和不等于1，因此我必须指定一个新的概率p_no_card = 1 - p_sum = 0.0833。实际上，如果我更改期望分布，则概率总和甚至大于1。

所以我写了一个愚蠢的嵌套循环来做到这一点：

cost1 = 10
cost2 = 100
cost3 = 1000
cost4 = 10000

for i in range(cost1):
    for j in range(min(cost2, 500 - i)):
        for k in range(min(cost3, 500 - i - j)):
            l = 500 - i - j - k
            p_sum = 1.0 * i / cost1 + 1.0 * j / cost2 + 1.0 * k / cost3 + 1.0 * l / cost4
            if abs(p_sum - 1) < 0.0005:
                print p_sum, i, j, k, l

通过这个嵌套循环，我可以获得很多结果，并为我的游戏选择了最佳选择。但是，如果我要添加更多的卡，例如100张卡，此循环将变得缓慢且不精确（易于理解，如果期望的每个部分都太小，则范围步长1会太大）。

那么我该如何快速而准确地分配数学期望呢？一个主意就足够了。我可以自己实现相应的代码。