为什么用这两种算法找到第n个斐波那契数的效率更高？

Question

计算第64个斐波纳契数时，第一个算法需要花费几个小时，而第二个算法则需要不到一秒钟。

为什么第二种算法的效率比第一种算法高得多？

它们看起来非常相似。

def fib_divide_recursion(n):
    if n <= 2:
        return n-1
    else:
        return fib_divide_recursion(n-1) + fib_divide_recursion(n-2)

def fib_linear_recursion(n, prev={}):
    if n <= 2:
        return n-1
    try:
        return prev[n]
    except KeyError:
        prev[n] = fib_linear_recursion(n - 1, prev) + 
            fib_linear_recursion(n - 2, prev)
        return prev[n]

Answer 1

第二种实现方式是使用“记忆”来记住先前计算的斐波那契值。

请考虑您要计算fib(5)：首先必须计算fib(4)和fib(3)。 fib(4)本身也需要您计算fib(3)。实际上，对于每个斐波那契数字，您可以一次计算每个前面的斐波那契数字并将其存储（这是记忆方法）。或者，以较差的性能，即使您之前已经计算过，也可以重新计算所需的每个斐波那契数。显然，没有记忆，您将需要做成倍的工作，而且对于高斐波那契数，这确实有所作为。

Answer 2

第一个算法的复杂度为O（2 ^ n）。

第二个将结果缓存在prev中，因此对于给定的数字，它永远不会多次计算fib_linear_recursion。它的复杂度是线性的O（n）。

有关更多详细信息，请参见this answer。

Answer 3

第一种算法仅使用递归，而第二种算法使用动态编程，即带备忘录的递归。

如果您为第一算法绘制树，则会看到重复的节点。但是使用第二种算法，它将存储已经计算出的节点，因此程序不必一次又一次地为此计算