协方差矩阵的缩放

Question

对于问题"Ellipse around the data in MATLAB"，在answer given by Amro中，他说了以下内容：

  

“如果你想要椭圆来表示   具体的标准水平   偏差，正确的做法是   通过缩放协方差矩阵“

以及缩放它的代码为

STD = 2;                     %# 2 standard deviations
conf = 2*normcdf(STD)-1;     %# covers around 95% of population
scale = chi2inv(conf,2);     %# inverse chi-squared with dof=#dimensions

Cov = cov(X0) * scale;
[V D] = eig(Cov);

我不明白上面代码段的前3行。如何通过chi2inv(conf,2)计算比例，以及将它与共变矩阵相乘的基本原理是什么？

其他问题：

我还发现，如果我用1.5 STD（即86％的瓷砖）进行缩放，椭圆可以覆盖所有的点，我的点集在几乎所有情况下都会聚集在一起。另一方面，如果我用3个STD（即99％的瓷砖）对其进行缩放，则椭圆太大。那么我怎样才能选择STD来紧紧覆盖丛生点呢？

以下是一个例子：

内椭圆对应1.5 STD，外对应2.5 STD。为什么1.5 STD紧紧覆盖了丛生的白点？是否有任何方法或理由来定义它？

Answer 1

在数据点周围显示椭圆的目的是显示置信区间，换句话说，＆＃34;有多少数据在与标准差的某一标准偏差范围内＃34;

在上面的代码中，他选择显示一个覆盖95％数据点的椭圆。对于正态分布，约67％的数据是1 s.d.远离平均值，在2 s内可达~95％。和3 s内的~99％ （数字不在我的头顶，但你可以通过计算曲线下的面积轻松验证这一点）。因此，值STD=2;您会发现conf约为0.95。

数据点与数据质心的距离类似(xi^2+yi^2)^0.5，忽略系数。随机变量的平方和遵循卡方分布，因此得到相应的95百分位数，他使用倒数卡方函数，d.o.f。 2，因为有两个变量。

最后，乘以缩放常数背后的基本原理是，对于具有特征值A的方阵a1,...,an，矩阵kA的特征值，其中{{1}标量只是k。特征值给出椭圆的长轴/短轴的相应长度，因此将椭圆或特征值缩放到95％图块相当于将协方差矩阵与比例因子相乘。

修改

程，虽然您可能已经知道这一点，但我建议您也阅读this answer关于随机性的问题。考虑具有零均值，单位方差的高斯随机变量。这些随机变量的集合的PDF看起来像这样

现在，如果我要采用两个这样的随机变量集合，将它们分开并将它们相加以形成一个新的随机变量的单个集合，它的分布看起来像这样

这是具有2个自由度的卡方分布（因为我们添加了两个集合）。

上述代码中椭圆的等式可写为ka1,...,kan，其中x^2/a^2 +y^2/b^2=k，x是两个随机变量，y和{{1}是主轴/副轴，a是我们需要弄清楚的一些比例常数。正如您所看到的，上面可以解释为平方并添加两个高斯随机变量集合，我们只是在上面看到它的分布是什么样的。因此，我们可以说b是一个随机变量，是2个自由度的卡方分布。

现在需要做的就是找到k的值，使得95％的数据都在其中。就像1s.d，2s.d，3s.d。我们熟悉高斯人的百分位数，对于具有2个自由度的卡方的95％瓦片大约是6.18。这就是Amro从k函数中获得的。他本可以写得k，但它本来就是一样的。它只是用chi2inv s.d。进行讨论。远离平均值是直观的。

只是为了说明，这里是上面卡方分布的PDF，95％的面积<1。一些scale=chi2inv(0.95,2)以红色阴影显示。这n是~6.18。

希望这会有所帮助。