使用段树的矩形并集区域

Question

我试图了解可用于计算一组轴对齐矩形的并集面积的算法。

我要遵循的解决方案在这里：http://tryalgo.org/en/geometry/2016/06/25/union-of-rectangles/

我不了解的部分是：

  

段树是此数据结构的正确选择。它具有复杂度O（logn）    用于更新操作和O（1）    用于查询。我们需要使用每个节点的分数来扩展分段树，并具有以下属性。

     

  
• 每个节点对应一个y间隔，它是该节点范围内所有索引上基本y间隔的并集。
  
• 如果节点值为零，则得分是后代得分的总和（如果节点是叶则为0）。
  
• 如果节点值为正，则得分为与该节点相对应的y间隔的长度。
  

我们如何在O（n log n）中实现呢？

我的想法是创建一个线段树，并在扫线时遇到范围（y范围为矩形的高度）时更新每个范围的值。然后对于每个间隔（在已排序的x数组中，两个连续的元素，通过查看段树中所有元素的总和，将Δx乘以该间隔内y范围的总长度）

这仍然会使我们在细分树的基础中具有max（y）-min（y）个元素。

因此，我不确定这是O（n log n）-其中n是矩形的数量。

非常感谢您的帮助。

谢谢！

Answer 1

让我们考虑一些简单的情况：

根据您的理解，您将创建一个在基础上具有11-1 = 10个节点的段树，如下所示：

请注意，我们的基础节点只有9个，因为第一个节点的间隔为[1,2]，下一个节点的间隔为[2,3]，依此类推

当您输入某个矩形时，您将根据其y坐标更新其范围，因此在x = 0上遇到第一个矩形后，您的细分树如下所示：

我们还需要使用惰性传播来更新树上的活动间隔，因此所有活动间隔将为总和贡献1。

因此，当前方法的复杂度类似于O（K log K），其中K = max（y）-min（y）

我们可以将其简化为O（n log n），其中n是矩形的数量。

请注意，只有重要的y坐标存在，因此在此示例中1,3,6,11

还要注意，这样的坐标最多2 * n

因此我们可以将所有坐标映射到一些整数，以便它们更适合分段树。

这称为坐标压缩，可以通过以下方式完成：

1. 将所有y坐标存储在数组中
2. 对数组进行排序并删除重复项
3. 使用map或hashMap将原始坐标映射到排序数组中的位置

因此在我们的示例中为：

1. [1,3,6,11]
2. 没有可删除的重复项，因此阵列仍[1,3,6,11]
3. mp[1]=1, mp[3]=2, mp[6]=3, mp[11]=4

因此，现在的算法保持不变，但是我们只能使用基数最多为2 * n个节点的段树。

我们还需要稍微修改段树， 而不是保持打开或关闭哪些y坐标，我们现在保持打开或关闭哪些y坐标的间隔

因此，对于所有y的唯一排序值，我们将具有间隔[y0，y1]，[y1，y2]，...的节点。

所有节点也将对总和（如果它们在范围内且处于活动状态）贡献y [i] -y [i-1]而不是一个。

所以我们的新细分树将是这样的：

Answer 2

  

我们如何在O（n log n）中实现这一目标？

考虑每个矩形，您将更新二进制段树中的范围[x，y]。本质上发生的是，你是

• 搜索x作为树的左边界（log（N）时间）
• 搜索y作为树的右边界（log（N）时间）

假设您找到的x节点为[x，a]，并且其父节点为[z，a]，并且该父节点具有同级节点[a，b]。显然，如果y不在[a，b]下，则将覆盖[a，b]的整个范围，因此您要递增此节点，而不是[a，b]子树下的所有单个段节点。

结果，搜索/更新过程看起来像这样。

• 如果父节点[a，c]有两个子节点[a，b]，[b，c]，并且左边界x在[a，b]中，则决定是否增加节点[b]中的值，c]（取决于y是否大于c）
• 如果父节点[a，c]有两个子节点[a，b]，[b，c]，并且右边界y在[b，c]中，则决定是否增加节点[a]中的值，b]（取决于x是否小于a）

基本上，在进入一个节点之前，请决定是否更新其同级。

您决定是否更新的节点数是log（N）（对于x）+ log（N）（对于y）。