有效括号的数字加泰罗尼亚语数字说明

Question

在研究catalan numbers时，我遇到的一些应用程序是：

1. 没有使用n个节点的二进制搜索树。
2. 没有办法在圆上使用2 * n点绘制不相交的和弦。
3. 没有办法安排n对括号。

虽然我了解前两个问题，加泰罗尼亚数字如何适合其解决方案，但我不明白它们如何适合第三个问题。

在互联网上找不到任何其他有用的资源，这可以解释 HOW 部分。每个人都说这是解决方案。

有人可以解释。

Answer 1

由于其他人似乎不同意这个问题，所以我现在决定将其作为话题，并提供答案。

Wikipedia确实对“排列n对括号的方式数目”（this link中的第二个要点）感到困惑。部分困惑是括号字符串的顺序不匹配您确实理解过的二叉树的顺序，或与许多其他示例一起使用。

这是将正确匹配的n对括号的字符串转换为带有n个内部节点的二叉树的方法。考虑最左括号（将是左括号）及其匹配的右括号。将字符串变成二叉树的节点。当前考虑的括号内 的子字符串成为该节点的左子代，而当前视图的 之后（右侧）的子字符串成为该节点的左子代。考虑正确的右括号成为正确的孩子。子字符串中的一个或两个都可以为空，并且只需删除当前考虑的括号即可。如果任一子字符串都不为空，请递归继续此过程，直到所有括号都被删除。

这里有两个例子。让我们从字符串((()))开始。我们从

开始

考虑的括号是最外面的。这变成

（我并没有费心画外部叶子节点）

然后

这是Wikipedia最左侧的具有3个内部节点的二叉树。

现在让我们做另一个字符串(())()。我们从

开始

同样，所考虑的括号是最外面的括号。转换为

现在考虑的括号是前两个，而不是最外面的。这变成

最终成为

这是Wikipedia列表中的第二个二叉树。

希望您现在能理解。这是正确配对的3对括号中所有五个可能字符串的列表，其后是Wikipedia的二叉树列表。这些列表现在彼此对应。

    ((()))       (()())        (())()       ()(())       ()()()