递归教会平等编码

Question

对于教会编码N的正整数，可以定义递归原理nat_rec：

Definition N : Type :=
forall (X:Type), X->(X->X)->X.

Definition nat_rec (z:N)(s:N->N)(n:N) : N :=
n N z s.

以下平等的教会编码equal_rec的递归原理equal是什么？

Definition equal (x:A) : A->Type :=
fun x' => forall (P:A->Type), P x -> P x'.

Definition equal_rec (* ... *)

Answer 1

就像自然数一样，递归原理只是一个eta扩展：

Definition equal (A:Type) (x:A) : A->Type :=
  fun x' => forall (P:A->Type), P x -> P x'.

Definition equal_rec (A:Type) (x y : A) (e : equal x y) (P : A -> Type) : P x -> P y :=
  e P.