Question

以Θ（·）表示法将运行时间计算为N的函数。

public static void p5(int N) {
  for (int i = 1; i <= N * N; i *= 2) { 
     for (int j = 0; j < i; j++) { 
          System.out.println("moo"); 
     } 
  } 
 }

为此，我开始为N的多个值计算运行时间。

N = 1 C（N）= 1，因为j =仅0

N = 2 C（N）= 7因为i = 1时j = 0，i = 2时j = 0.1，i = 4时j = 0,1,2,3

N = 3 C（N）= 15因为i = 1时j = 0，i = 2时j = 0.1，i = 4时j = 0,1,2,3 i = 8时j = 0,1,2,3,4,5,6,7

因此，有一种模式：

C（1）= 1 = 2 ^ 0

C（2）= 7 = 2 ^ 0 + 2 ^ 1 + 2 ^ 2

C（3）= 15 = 2 ^ 0 + 2 ^ 1 + 2 ^ 2 + 2 ^ 3

C（4）= 31 = 2 ^ 0 + 2 ^ 1 + 2 ^ 2 + 2 ^ 3 + 2 ^ 4

C（N）= 2 ^ 0 + 2 ^ 1 + 2 ^ 2 + 2 ^ 3 + 2 ^ 4 +…+ 2 ^ N = 2 ^（N + 1）-1

所以，我得到Θ（2 ^ N）作为答案！但是，答案是N ^ 2。

您能帮助我了解问题出在哪里吗？

Answer 1

p5的复杂度实际上是O(n^2)，您可以正式计算它；或简单地编辑方法，使其返回执行的周期数；并计算比率ops/(N^2)来证明这一点。下面的代码转储输出：

p5 N=1 took op=1 operations, ratio=1,000000
p5 N=2 took op=7 operations, ratio=1,750000
p5 N=4 took op=31 operations, ratio=1,937500
p5 N=8 took op=127 operations, ratio=1,984375
p5 N=16 took op=511 operations, ratio=1,996094
p5 N=32 took op=2047 operations, ratio=1,999023
#etc..

和代码：

package sample;
public class SampleComplexity {
  public static int p5(int N) {
    int res = 0;
    for (int i = 1; i <= N * N; i *= 2) {
      for (int j = 0; j < i; j++) {
        //count operations here
        res++;
      }
    }
    return res;
  }

  public static void main(String[] args) {
    int N=1;
    for (int i=0;i<10;i++) {
      int p5 = p5(N);
      System.out.printf("p5 N=%d took op=%d operations, ratio=%f%n", N, p5, 1.*p5/N/N);
      N=N*2;
    }
  }
}

Answer 2

例如，您的错误在这里：

C（4）= 31 = 2 ^ 0 + 2 ^ 1 + 2 ^ 2 + 2 ^ 3 + 2 ^ 4

如果在Θ函数中输入4，则您有2⁴，这不等于您计算出的值。

计算函数的运行时间

2 个答案: