数学。排序。 “ n *（n +1）/ 2”是否总是小于“ n * n”？

Question

请参见下面的代码。该代码按n *（n + 1）/ 2个迭代对数组进行排序。我从维基百科1 + 2 + 3 + 4 +...中选取了公式。无需证明它，让我们假设它可以正常工作。

3.0 + 5.0 / 2.0

This code at OnlineGDB

我的问题是，“ n *（n + 1）/ 2”小于“ n * n”是否总是正确吗？

Answer 1

假设n > 0。然后，如果n * (n + 1) / 2 < n * n为true，则(n + 1) / 2 < n也为true，因此n + 1 < 2 * n，因此n > 1。如果为(n > 0) AND (n > 1)，则为n > 1。

假设n < 0。然后，如果n * (n + 1) / 2 < n * n为true，则(n + 1) / 2 > n也为true，因此n + 1 > 2 * n，因此n < 1。如果为(n < 0) AND (n < 1)，则为n < 0。

这表示如果(n > 1) OR (n < 0)，则为true。

Answer 2

假设 n 是实数，并且 n <0或 n > 1。

n •（ n +1）/ 2 < n ² 当且仅当存在一个正数 h ，使得 n •（ n +1）/ 2 + h = n ² 。

所以 h 将是 n ² - n •（ n + 1）/ 2。这是积极的吗？它等于 n ² / 2- n / 2。如果 n <0，则 n ² / 2和 n / 2均为正，因此 h 是肯定的。如果 n > 1， n ² / 2- n / 2 = n •（ n -1）/ 2，而 n 和（ n -1）/ 2均为正，所以 h < / em>为正。因此，对于 n <0或 n > 1， n •（ n +1）/ 2 << em> n ² 。

另一方面，如果0≤ n ≤1，则我们有 h = n •（ n −1）/ 2，我们可以看到 n 为正或零，而（ n −1）/ 2为负或零，所以 h < / em>不是正数，因此 n •（ n +1）/ 2≥ n ² 。< / p>