您如何确定图G是否具有权重为k的生成树？

Question

给定k，一个正整数和一个连通图G =（V，E），E的每个e具有权重w（e），谁能提出一种算法来确定G是否具有一个重量k？

Answer 1

您的问题很难解决。我们可以通过简化the subset sum problem的公式来证明这一点：

  

给出[…]自然数 w ₁ ，…， w _n ，它们的任何子集的总和是否恰好是 W ？

假设我们有一种可以解决您的问题的算法。然后，我们可以通过创建包含以下内容的图 G 来解决子集和的问题（在上面的公式中）：

• 顶点 v ₁ ，…， v _n 集合，再加上两个特殊顶点 x 和 y 。
• 从 x 到每个 v _i 的边缘，权重为 w _i 。
• 从 y 到每个 v _i 的一条边，权重为0。
• 从 x 到 y 的边，权重为0。

当且仅当您的算法为图 G 和 k = < em> W 。

了解原因：

• 如果您的算法返回“是”，则存在权重为 W 的生成树，这意味着生成树中的边加起来为 W 。但是非零边缘权重是集合中所有不同的元素，因此这意味着我们有一个总和为 W 的子集。
相反，如果有一个子集的总和为 W ，那么我们可以通过取 x 的边来构造权重为 W 的生成树。 em>对应于该子集的顶点，再加上 y 到所有其他顶点的（零权重）边，再加上 x 到所有其他顶点的（零权重）边 y 。

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当然，NP硬度并不意味着您无法做到。这只是意味着，对于所有可能的输入，没有一种正确的有效算法。

一种低效算法将生成所有可能的生成树，并查看其中是否有正确的权重。

您还可以更有效地检查一些可能的情况；特别是，您可以使用Kruskal's algorithm查找最小生成树，并（稍作修改）使用查找最大生成树。这样，您便可以快速消除可能的生成树权重范围之外的任何 k 。

消除 k 的许多值的另一种可能方法是使用一些算法解决子集和问题（在我上面链接的Wikipedia文章上），以确定图是否具有任何权重为 k 的子图。