查找具有相同权重的最大边数的生成树

Question

这是问题所在。

给出加权无向连通图G.权重是不变的。任务是提出一种算法，该算法可以找到满足这两个条件的G生成树的总权重（按优先级排序）：

• 生成树必须具有具有相同权重的最大边数（实际重复的权重值无关紧要）;
• 应该最小化生成树的总重量。这意味着，例如，生成树T1的权重120最多有4个边具有相同的权重（以及每个权重的权重）这四个应该优于生成树T2，重量140最多有4个边具有相同的重量（并且这四个边的重量都是8）。

我已经坚持了很长一段时间了。我已经为图形实现了Boruvka的MST搜索算法，现在我不确定在找到MST之后是否应该执行任何操作，或者最好修改MST搜索算法本身。

欢迎任何建议！

Answer 1

这可以在O(m^2)中天真地完成，而且O(mn)不需要太多努力。似乎可以更快地完成它，可能像O(m log^2(n))甚至O(m log(n))那样只需要一点工作。

基本理念是这样的。对于任何权重k，让MST(k)为生成树，其中包含权重k的最大可能边数，否则具有最小总权重。可能有多个这样的树，但它们都具有相同的总重量，因此您选择哪一个并不重要。通过使用任何MST算法并将权重MST(k)的所有边缘视为权重k，可以找到-Infinity。

对于某些MST(k)，此问题的解决方案为k。因此，天真的解决方案是生成所有MST(k)并选择具有最大数量的相同边缘权重然后最小总重量的那个O(m^2)。使用Kruskal算法，您可以在O(mn)中执行此操作，因为您只需对边进行一次排序。

首先使用原始权重找到MST，然后对每个k，通过减少每个边缘的权重，将树修改为MST(k)，可以将其改进为k。权重-Infinity到O(n)。为减少边缘权重更新MST是O(mn)操作，因为您只需要在相应的fundamental cycle中找到最大权重边缘。

要使用此方法比g = sns.pairplot(iris, hue="species", palette="Set2", diag_kind="kde", size=2.5) 做得更好，您必须以这样的方式预处理原始MST，以便可以更快地执行这些边缘权重减少。似乎像heavy path decomposition这样的东西应该在这里起作用，但是有一些细节需要解决。