给树上色，以使重量乘以时间最小化

Question

给定一个二叉树，其中有n个节点，每个节点的权重为wi（i表示第i个节点的权重），我们必须为树的每个节点着色。节点着色的成本等于节点的重量乘以节点着色的时间。时间从1开始，并随着您继续为节点着色而增加1。在强制着色时，父母必须在孩子之前着色。计算着色整棵树的最低成本？

Answer 1

在研究文献中，这个问题是在单台机器上优先安排作业，以最大程度地减少总加权完成时间。由于劳勒，有一个O（n log n）算法用于串并联优先级。在特殊情况下，让我总结一下。

如果不要求将父母安排在孩子之前，则我们希望按不增加体重的顺序上色。 Lawler的过程是自下而上的，将节点组合成我称之为复合节点的过程。每个节点x的输出是一组复合节点，其中（1）恰好包含x的每个后代（2）可以按权重的非降序进行着色（其中，复合节点的权重是其平均权重）组成节点）而不会违反父子排序约束。

在后顺序的每个节点x上，首先合并x的子级中的集合。尽管合并集中存在一个复合节点，其大小至少与x一样重，但弹出该节点并用x和该节点组成的复合节点替换x。为了提高效率，请将集合表示为可合并的优先级队列（例如，配对堆）。

最后，对复合节点进行排序并将它们展平到一个列表中。

Answer 2

您可以做的是可以逐级遍历树。对整个级别进行排序，然后对每个节点进行着色，以使其总和最小。对每个级别重复此操作。

举例说明，如果您有以下树：

      4
     / \
    3   7
       / \
      1   9
     /
    2

1. 获取第一级：4。
2. 按降序排列。并乘以time：4*1。费用= 4。
3. 检索第二级：3 7。
4. 按降序排列。并将每个节点乘以time：7*2 + 3*3 = 23。费用= 4 + 23 = 27。
5. 检索第3级：1 9
6. 按降序排列。并将每个节点乘以time：9*4+1*5 = 41。费用= 27 + 41 = 68。
7. 检索第4级：2
8. 按降序排列。并将每个节点乘以time：2*6 = 12。费用= 68 + 12 = 80。

如何以级别顺序遍历二叉树。请参考：https://www.geeksforgeeks.org/level-order-tree-traversal/