Question

我得到了两个算法，每个算法都有两个for循环-我认为第一个算法的运行时间是二次的。第二种算法的运行时间是否相同-O（n ^ 2）？

算法1：

for (int i = 1..n) { 
     for (int j = 1..n) {
          // sort m[i, j]
     } 
}

算法2：

for (int i = 1..n) { 
     for (int j = i..n) {
          // sort m[i, j]
     } 
}

我检查了以前的类似帖子（大O标记），但找不到任何解决我的问题的方法-如果这样做，请指出正确的方向。

谢谢！

Answer 1

让我们分析算法2，另一个与此类似。

我们首先同意sort m[i, j]是O((j-i)lg(j-i))。

Alg 2  = O(sum_{i=1}^n sum_{j=i}^n (j-i)lg(j-i))
      <= O(sum_{i=1}^n sum_{j=i}^n (n-i)lg(n-i))
      <= O(sum_{i=1}^n (n-i)^2 lg(n-i))
       = O(sum_{i=1}^n i^2 lg(i))
      <= O(sum_{i=1}^n i^2 lg(n))
       = O(n^3 lg(n))

另一方面

Alg 2  = O(sum_{i=1}^n sum_{j=i}^n (j-i)lg(j-i))                      ; take 1/2 of terms
      >= O(sum_{i=n/2}^n sum_{j=(i+n)/2}^n (j-i) lg(j-i))
      >= O(sum_{i=n/2}^n sum_{j=(i+n)/2}^n (n-i)/2 lg((n-i)/2)))      ; because j>=(i+n)/2
      >= O(sum_{i=n/2}^n ((n-i)/2)^2 lg((n-i)/2)))
      >= O(sum_{i=n/2}^{(n+n/2)/2} ((n-i)/2)^2 lg((n-i)/2)))          ; 1/2 of terms
      >= O(sum_{i=n/2}^{3n/4} (n/8)^2 lg(n/8))                        ; -i >= -3n/4
       = O(n^3 lg(n))

时间复杂度比较

1 个答案: