如何使用动态编程找到最大概率？

Question

为更好地理解这个问题，您可以查看：-

1）https://math.stackexchange.com/questions/3100336/how-to-calculate-the-probability-in-this-case

约翰在与魔术师对战。在这场比赛中，他前面最初有'N'个相同的盒子，其中一个盒子里装有一个魔术药丸-吃完这药后，他就变得不朽了。

他必须确定哪个盒子里装有药丸。他最多只能执行'M'个动作。在每一步中，他都可以执行以下操作之一：

1）

随机选择一个在他前面的盒子，然后猜猜这个盒子里有药。如果猜想是正确的，则游戏结束并获得药丸。否则，经过这个猜想，魔术师以他无法确定添加了哪些盒子的方式在他前面添加了K个空盒子。他猜到的那个盒子也留在了他的前面，他也无法在随后的移动中将该盒子与其他盒子区分开。

2）选择一个数字X，使X为K的正数，但严格小于John前面的当前盒子数。魔术师然后删除X个空盒子。当然，如果当前的盒数≤K，则约翰绝不能执行此举。

如果约翰打得最好，他得到药丸的最大概率是多少？ “ N”始终小于“ K”。

示例：-令M = 3，因此允许3个移动。 K = 20，N = 3。

John在他的第一步中选择了一个概率为x = 1/3的框，（已添加20个框（20 + 3 == 23），然后在第二步中，他再次选择了具有概率的框这次，y = 1/23 *（2/3）。这里的2/3表示第一步失败的概率。

第三步，他以z = 1/43 *（22/23）*（2/3）的概率做同样的事情。

所以总概率为= x + y + z = l1

让我们说，在上述情况下，在第二步中，他选择移走20个盒子，什么也不做，那么新的最终概率为= 1/3 + 0（第二步不做任何事情！）+ 2 / 3 *（1/3）= l2。现在，由于l2> l1，所以'l2'是我们问题的答案。

基本上，我们必须确定哪个移动顺序将产生最大概率？还有，

P（获胜）= P（以第一动作结束的游戏）+ P（以第二动作结束的游戏）+ P（以第三动作结束的游戏）=（1/3）+0+（2/3）*（ 1/3）= 5/9

给出，N，K，M我们如何找出最大概率？ 我们必须应用动态编程吗？

Answer 1

让 p （ N ， K ， M ）成为约翰打得最佳的概率。我们具有以下重复关系：

• p （ N ， K ，0）= 0
  • 如果没有剩余的动作，那么他会输。
• 如果 M > 0和 N < X ，则 p （ N ， K ， M ）= ¹ / _N + ^{（ N −1）} / _N · p （ N + K ， K ， M −1）
  • 如果至少还有一个动作，并且选项＃2不允许，那么他获胜的概率就是他在这一轮猜中正确的概率，加上他在这一轮猜错了的概率。 / em>他稍后获胜。
• 如果 M > 0并且 N ≥ X ，则 p （ N ， K ， M ）是这两个中的较大者：
  • ¹ / _N + ^{（ N -1）} / _N · p （ N + K ， K ， M −1）
    • 如果他选择了选项＃1，则与被迫选择选项＃1的情况相同。
  • p （ N ％ K ， K ， M −1） ，其中'％'是“余数”或“模数”运算符
    • 如果他选择第2个选项，那么他肯定不会在此步骤中获胜，因此他获胜的可能性等于他在以后的回合中获胜的可能性。
    • 请注意，我们只需要考虑 N ％ K ，因为他当然应该选择允许的最大 X 值。让盒子的池子保持不必要的大小永远不会有任何好处。

动态编程或递归加记忆很适合于此。您可以直接应用上述递归关系。

请注意， K 永远不会更改，因此不需要数组维；和 N 仅通过加或减 K 的整数倍来更改，因此最好使用数组索引 n ，使 N =（ N ₀ ％ K ）+ nK 。

此外，请注意， M 每回合恰好减少1，因此，如果您使用的是动态编程方法，并且只需要最终概率，则无需保留 M 的所有值的概率；相反，在为给定值 M 构建数组时，只需将数组保留为 M -1。