如何使用动态编程找到子序列的最大总和？

Question

我正在重新阅读Skiena的算法设计手册，以了解自学校以来我忘记的一些东西，我对他对动态编程的描述感到有些困惑。我在维基百科和其他各种网站上查了一下，虽然描述都很有意义，但我自己也难以找出具体的问题。目前，我正在从Skiena的书中解决问题3-5。 （给定n个实数的数组，在输入的任何连续子向量中找到最大总和。）我有一个O（n ^ 2）解，如this answer中所述。但我坚持使用动态编程的O（N）解决方案。我不清楚复发关系应该是什么。

我看到子序列形成一组总和，如下：

S = {a，b，c，d}

a    a+b    a+b+c    a+b+c+d
     b      b+c      b+c+d
            c        c+d
                     d

我没有得到的是如何选择哪一个在线性时间内最大。到目前为止，我已经尝试过跟踪最大值的事情，如果当前值为正，则将其添加到总和中。但是当你有更大的序列时，这就成了问题，因为可能有一些负数会减少总和，但是后来的大正数可能会使它恢复到最大值。

我也想起了总计区域表。你可以只使用累积和来计算所有的总和：a，a + b，a + b + c，a + b + c + d等等（例如，如果你需要b + c，它只是（a +） b + c） - （a）。）但是没有看到O（N）的方法来获得它。

有人可以向我解释一下这个特定问题的O（N）动态编程解决方案是什么吗？我觉得我几乎得到了它，但我错过了一些东西。

Answer 1

你应take a look to this pdf回到学校http://castle.eiu.edu这里：

以下伪代码的解释也在pdf中。

Answer 2

有一个解决方案，首先将数组排序到某个辅助内存中，然后将最长公共子序列方法应用于原始数组和排序数组，其中包含公共子序列的总和（不是长度） 2个数组作为表的入口（Memoization）。这也可以解决问题

总运行时间是O（nlogn）+ O（n ^ 2）=＆gt;为O（n ^ 2） 空间是O（n）+ O（n ^ 2）=＆gt;为O（n ^ 2）

当内存进入画面时，这不是一个好的解决方案。这只是为了让人们了解如何将问题相互减少。

Answer 3

我对DP的理解是关于“制作一张桌子”。事实上，DP中原来的“编程”意思就是制作表格。

关键是找出要放在表格中的内容，或现代术语：要跟踪的状态，或者DAG中的顶点键/值是什么（如果它们听起来很奇怪，请忽略这些术语你）。

如何选择dp[i]表是数组索引 i 的最大总和，例如，数组为[5,15，-30,10]

第二个重要的关键是“最佳子结构”，即“假设”dp[i-1]已经存储了以索引 i-1 结尾的子序列的最大总和，这就是为什么 i 的唯一步骤是决定是否将a[i]包含在子序列中

dp[i] = max(dp[i-1], dp[i-1] + a[i])

max中的第一项是“不包括[i]”，第二项是“包括[i]”。请注意，如果我们不包含a[i]，则到目前为止最大的总和仍然是dp[i-1]，它来自“最佳子结构”参数。

所以整个程序看起来像这样（在Python中）：

a = [5,15,-30,10]

dp = [0]*len(a)
dp[0] = max(0,a[0]) # include a[0] or not

for i in range(1,len(a)):
    dp[i] = max(dp[i-1], dp[i-1]+a[i]) # for sub-sequence, choose to add or not     


 print(dp, max(dp)) 

结果：在dp遍历数组i之后，最大的子序列总和应该是a表中的最大项。但仔细看看dp，它掌握了所有信息。

因为它只遍历数组a中的项目，所以它是一个O（n）算法。

这个问题看起来很愚蠢，因为只要a[i]为正，我们就应该总是把它包含在子序列中，因为它只会增加总和。这种直觉与代码匹配

dp[i] = max(dp[i-1], dp[i-1] + a[i])

所以最大。子序列问题的总和很容易，根本不需要DP。简单地说，

sum = 0
for v in a:
     if  v >0
         sum += v

然而，“连续子阵列”问题的最大总和呢？我们需要改变的只是一行代码

dp[i] = max(dp[i-1]+a[i], a[i])    

第一项是“在连续子阵列中包含[i]”，第二项是决定开始一个新的子阵列，从[i]开始。

在这种情况下，dp[i]是最大值。求和以index-i结尾的连续子数组。

这肯定比天真的方法O（n ^ 2）* O（n），i-loop内的for j in range(0,i):和sum所有可能的子阵列都要好。

一个小警告，因为设置dp[0]的方式，如果a中的所有项都是否定的，我们就不会选择任何项。因此，对于max sum连续子阵列，我们将其更改为

dp[0] = a[0]