Question

我正在尝试在球拍中使用Peano数集成算术函数。我只在使用递归（对于/ while循环则不使用）

现在，我正在从事除法工作。我不确定自己走的路是否正确，但是好像Racket给了我一个内存错误。这是我到目前为止的内容：

; Basic Peano axioms

(define (zero? n)
  (eq? n 'zero))

(define (nat? x)
  (cond
    [(zero? x) #t]
    [(pair? x) (and (eq? (first x) 'succ) (nat? (second x)))]
    [else #f]))

(define (succ n)
  (list 'succ n))

(define (pred n)
  (if (zero? n) 'zero (second n)))

; comparison of Peano numbers

(define (ltnat? m n)
  (cond
    [(zero? n) #f]
    [(zero? m) #t]
    [else (ltnat? (pred m) (pred n))]))

; Subtraction

(define (sub m n)
  (if (eq? m n)
      'zero
      (succ (sub (pred m) n)))
)

; Division

(define (div m n)
  (if (zero? m)
      'zero
      (if (eq? m n)
          '(succ zero)
          (if (ltnat? m n)
              'zero
              (succ (div (sub m n) n))))))

我已经尝试了很长时间，但是没有运气。基本上，在除法函数中，我尝试编写所有基本案例以结束递归，否则执行递归。

我也在互联网上四处搜寻，似乎没有什么适合我想要做的...

任何帮助/建议都会有所帮助。谢谢！

Answer 1

sub和div的定义不正确。您应该使用equal?而不是eq?来比较Peano数。

这是因为eq?测试对象 identity ：当两个值是 same 对象时，而equal?测试结构相等性：例如，当两个列表具有相同顺序的相同元素时。

在这种情况下，由于您要比较在程序的不同部分中使用构造函数构建的列表，即使它们在结构上相等，它们也是不同的对象：

> (eq? 'zero 'zero) ; two constant symbols are made unique,
#t                  ; representing the same value in memory
> (eq? '(succ zero) '(succ zero)) ; two lists are read as
#f                                ; two different values
> (equal? '(succ zero) '(succ zero))
#t          ; the comparison here is done element by element
> (let ((a '(succ zero))) ; here we compare the same object
    (eq? a a))  ; the list is read only once and stored in memory
#t

例如，您可以使用以下定义来代替sub的定义：

(define (sub m n)
  (if (equal? m n)
      'zero
      (succ (sub (pred m) n)))
)

但是，请注意，当第二个参数大于第一个参数时，此定义陷入无限循环。实际上，在递归调用中m是“递减的”，但是当它等于0时，就永远不会对其进行测试（在基本情况下）。为避免这种情况，请参见下面讨论的版本。

另一个重要的一点是，由于equal?的定义，在列表的情况下，它执行两个列表的访问，并在找到第一个列表末尾时终止，这使它成为昂贵的运算符。

因此，sub的先前定义也效率很低，因为对于递归的每个步骤，列表都是被访问的。下面是一个更为有效（正确！）的定义，其中避免了相等性测试并且正确地处理了递归：

(define (sub m n)
  (cond
    [(zero? m) 'zero]
    [(zero? n) m]
    [else (sub (pred m) (pred n))]))

最后一点：同样在div的定义中，当除数为'zero时，该函数将永远循环。从数学上讲这是正确的，因为被零除是一个不确定的运算。但是，从编程的角度来看，我认为返回某种错误会更合适。

在球拍中使用Peano数除法

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