Question

我想实现一个与差异f通勤的运算符D。

Unprotect[D];
D[f[y___], x] := f[D[y, x]];
Protect[D];

D[f[Sin[x]], x]
D[f[Sin[x]] + 1, x]

不幸的是，这段代码会产生两种不同的结果

f[Cos[x]] (* as expected *)
Cos[x] f´[Sin[x]] (* cannot explain *)

我想知道，发生了什么，以及如何修复替换规则，以便第二个表达式也计算为f[Cos[x]]。

更新。解决方案1 以下解决方案似乎完成了重新定义D运算符的工作（尽管我完全不了解我自己的代码）。

PartialDerivative[x_, x_] := 1; 

PartialDerivative[c_, x_] := 0 /; FreeQ[c, x]; 

PartialDerivative[f_ConditionalExpectation, x_] := 
  ConditionalExpectation[PartialDerivative[f, x]];

PartialDerivative[(f_)[g__], x_] := Module[{i, n, p}, 
        n = Length[SequenceHold[g]]; 
        Sum[
          p = ConstantArray[0, n]; p[[i]] = 1; 
          ((Derivative[##1][f] & ) @@ p)[g]*
              PartialDerivative[SequenceHold[g][[i]], x], {i, 1, n}]];

如果有经验的人可以查看代码并告诉我这种方法是否正常，我将不胜感激。

Answer 1

模式在语法上匹配，而不是语义匹配。对于内置函数，如果重新定义它们，并且如果模式不匹配，则使用内置规则（定义）。要查看模式是否匹配或不匹配的原因，FullForm通常很有用。通过这种方式，我们看到：

In[26]:= FullForm[HoldForm[D[f[Sin[x]]+1,x]]]
Out[26]//FullForm= HoldForm[D[Plus[f[Sin[x]],1],x]]

您的定义仅在D内有f [ _ ]时有效，而在此D[Plus[f[..],1],x]。因此，您的定义不匹配，然后使用内置。以下是扩展它以覆盖这种情况的一种方法：

Unprotect[D];
D[f[y___], x_] := f[D[y, x]];
D[HoldPattern[Plus[left___, a_f, right___]], x_] := 
    D[Plus[left], x] + D[a, x] + D[Plus[right], x];
Protect[D];

现在它将按预期工作。但请注意，IMO以这种方式重新定义内置函数（例如D）是一种不好的做法，应该避免使用。首先，上述解决方案可能也不健壮，您可能会发现自己添加了更多规则，以使其适用于所有情况。此外，通常情况下，最好避免重新定义内置函数（如果可以的话）（一个原因是这样做可能会导致一些非常微妙的错误，因为其他一些系统函数可能会使用您重新定义的函数，并且您无法控制超过它）。我会改为实现自己的差异化功能。这不是集成，它是相对简单的，你不会将任何其他系统的功能置于危险之中。

如何在Mathematica中定义一个与D通信的函数

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