了解何时使用theta来解决时间复杂性

Question

我（相信）我理解Big-O，Big-Ω和Big-Θ的定义； Big-O是渐近上限，Big-Ω是渐近下限，Big-Θ是渐近紧界限。但是，在某些情况下（例如在插入排序中），我一直对Θ的用法感到困惑：

据我了解，这表示插入排序将：

1. 至少采用线性时间（运行时间不会比线性时间快）；根据Big-Ω。

2. 最多花费n^2时间（最多花费n^2）；根据Big-O。

我对何时使用Big-Θ的理解引起了困惑。为此，我被认为是只有在Big-O和Big-Ω的值相同时才能使用Big-Θ。如果是这样，为什么在Θ(n^2)和Ω值不同的情况下将插入排序视为O？

Answer 1

基本上，只有在算法运行时间的上限和下限之间没有渐近间隙时，才可以使用Big-Θ：

在您的示例中，插入排序最多花费O（n ^ 2）时间（在最坏的情况下），而花费Ω（n）时间（在最好的情况下）。因此，O（n ^ 2）是算法的时间上限，而Ω（n）是算法的下限。由于这两个不相同，因此您不能使用Big-Θ来描述插入排序算法的运行时间。

但是，考虑使用Selection-Sort算法。其最坏情况下的运行时间为O（n ^ 2），其最坏情况下的运行时间为Ω（n ^ 2）。因此，由于上限和下限相同（渐近），因此可以说选择排序算法的运行时间为Θ（n ^ 2）。