对Dijkstra算法的证明感到困惑

Question

在证明Dijkstra算法正确性的过程中，有一个引理说明如下：

  

让我们在最短路径P上成为v的前任：s-> ...-> u-> v从s到v。然后，如果d（u）=δ（s，u）和边（u， v）放松，我们有d（v）=δ（s，v），其中函数δ（x，y）表示从x到y的最小路径权重。

我想知道为什么在这个引理中我们需要条件d（u）=δ（s，u）。如果路径P：s-> ...-> u-> v是从s到v的最短路径，则根据最佳子结构的性质，P的子路径s-> ...-> u也必须是从s到u的最短路径。因此，d（u）必须等于δ（s，u）。

是否存在d（u）≠δ（s，u）但P：s-> ...-> u-> v从s到v最短的情况？如果是这样，有人可以在这里提供示例。

任何帮助将不胜感激。

Answer 1

是的，我们必须要有这个引理。 当我们运行算法时，到u的距离一直在变化，直到我们到u的距离最短为止。例如，如果某个节点a到达了u，并且从s到a的距离是d（u），但不是最优的，并且在算法的后面。我们发现通过s从s到u是最短的路径。因此，在这一点上，d（u）变为最佳。

希望这会有所帮助。