实数公理中的中间部分

Question

利用Coq的实数公理completeness和total_order_T，使用与标准lib引理Un_cv_crit_lub中相同的技术，我设法证明了

Lemma NatForallDec : forall (f : nat -> bool),
    { forall n:nat, f n = false } + { ~forall n:nat, f n = false }.

和

Lemma NatForallDecIncr : forall (f : nat -> bool),
    (forall n m:nat, f n = true -> n <= m -> f m = true)
    -> { forall n:nat, f n = false } + { exists n:nat, f n = true }.

这令人不安，因为它看起来像某种预言：如果可以为每个数字确定关于自然数的命题f，那么f的无穷连词也就可以确定。因此，实数公理表示我们可以提取一种算法，该算法可以在有限的时间内做出无数的决策...

是否还有其他实例不包括实数公理而与实数无关？

关于实数，最小上限可以实现为收敛序列吗？

Definition Cv_lub (A : R -> Prop) (l : R) (n : nat) :
  is_lub A l
  -> { x : R | A x /\ (l - x <= 1 / INR n)%R }.