Question

我最近在理解解决递归的替代方法时遇到了麻烦。我很少看关于该问题的在线讲座，但可悲的是它并没有告诉我太多（在其中一个中，我听说这是基于猜测的，这使我更加困惑），并且我正在寻找一些技巧。我的目标是使用替换方法解决三个不同的递归函数，找出它们的时间复杂度和T（32）的值。

功能1 定义为：
  T（1）= 1
  T（n）= T（n-1）+ n等于n> 1

我首先列出了前几次处决：

T(2) = T(2-1)+2 = 1+2
T(3) = T(3-1)+3 = 1+2+3
T(4) = T(4-1)+4 = 1+2+3+4
T(5) = T(5-1)+5 = 1+2+3+4+5
...
T(n) = 1+2+...+(n-1)+n = n(n+1)/2

然后我通过归纳证明，使用第一个 n 个自然数之和的公式， T（1）= 1 ，然后对于 n + 1 。对我来说很清楚，但是我不确定这是否是替代方法。还知道公式 T（n）= n（n + 1）/ 2 ，我很容易计算出T（32）= 528并计算了时间复杂度，即O（n ^ 2）。

在示例（2）和（3）中，我只需要 n = 2 ^ k 的解决方案当 k 是自然数时，但是如果您向我推荐了一些文章，也说明了如何为所有 n 获取这些信息，那会很好（但是我想这要困难得多）比那）。

功能2 定义为：
  T（1）= 0
  T（n）= T（n / 2）+ 1，即使n> 1
  对于奇数n> 1的T（n）= T（（n + 1）/ 2）+1

由于只允许对 n = 2 ^ k 进行证明，因此根据我所获得的知识，我尝试通过以下方式进行验证：

T(n) = T(n/2) + 1
     = T(n/4) + 1 + 1     = T(n/4) + 2
     = T(n/8) + 1 + 2     = T(n/8) + 3
     = T(n/16) + 1 + 3    = T(n/16) + 4
     = T(n/2^i) + i     // where i <= k, according to tutorials

这是我被困住的时刻，我无法继续进行下去。我想我的计算是正确的，但是我不确定如何寻找一个满足该功能的公式。得到正确的公式后，计算T（32）或时间复杂度将不是问题。

功能3 定义为：
  T（1）= 1
  T（n）= 2T（n / 2）+ 1，即使n> 1
  对于奇数n> 1，T（n）= T（（n – 1）/ 2）+ T（（n + 1）/ 2）+ 1

我的计算：

T(n) = 2T(n/2) + 1
     = 2(2T(n/4)+1) + 1 = 4T(n/4) + 3
     = 4(2T(n/8)+1) + 3 = 8T(n/8) + 7
     = iT(n/2^i) + 2^i - 1

再次涉及公式，我不确定该如何重写。

基本上，用替代方法求解递归是否意味着寻找和迭代公式？

Answer 1

在重新研究了该主题之后，我发现自己做错了什么，并且没有让我的问题没有得到回答，我会尽力做到这一点。

第一个函数计算正确，归纳证明也是正确的-在此无需添加任何内容。

当我遇到第二功能时，我没有请注意，我实际上正在使用替换 n = 2 ^ k 。这个应该是这样的：

T(n) = T(n/2) + 1
     = T(n/4) + 1 + 1     = T(n/4) + 2
     = T(n/8) + 1 + 2     = T(n/8) + 3
     = T(n/16) + 1 + 3    = T(n/16) + 4
     = T(n/2^k) + k 
     = T(1) + k 
     = k

归纳证明： T（2 ^ k）= k 有效：
基本情况： k = 1，则T（2 ^ 1）= T（2）=1。（它不能为k = 0，因为2 ^ 0不大于1）
归纳步骤： 假设T（2 ^ k）= k，我们想显示T（2 ^（k + 1））= k + 1。由于 2 ^ k = n ，则 2 ^（k + 1）= 2 * 2 ^ k = 2n 。

T(2n) = T(n) + 1
      = T(n/2) + 1 + 1
      = T(n/4) + 2 + 1
      = T(n/8) + 3 + 1
      = T(1) + k + 1
      = k + 1.

时间复杂度： O（log n）
T（32） = T（2 ^ 5）= 5

在第三个功能中，我每次都错过了该功能本身的价值就翻了一番。

T(n) = 2T(n/2) + 1
     = 2(2T(n/4)+1) + 1     = 4T(n/4) + 3
     = 4(2T(n/8)+1) + 3     = 8T(n/8) + 7
     = 8(2T(n/16)+1) + 7    = 16T(n/16) + 15
     = 16(2T(n/32)+1) + 15  = 32T(n/32) + 31
     = 2^k*T(n/2^i) + 2^k - 1
     = 2^k*T(1) + 2^k - 1
     = 2^k + 2^k - 1
     = 2^(k+1) - 1

归纳证明： T（2 ^ k）= 2 ^（k + 1）-1 起作用：
基本情况： k = 1，则T（2 ^ 1）= T（2）=3。原始函数T（2）= 2T（1）+1 = 2 + 1 = 3，所以基本情况为真。
归纳步骤： 假设T（2 ^ k）= 2 ^（k + 1）-1，我们要显示T（2 ^（k + 1））= 2 ^（k + 2）-1。类似地，与第二个函数一样， 2 ^ k = n ，所以 2 ^（k + 1）= 2 * 2 ^ k = 2n 。

T(2n) = 2T(n) + 1
      = 2(2T(n/2)+1) + 1    = 4T(n/2) + 3
      = 4(2T(n/4)+1) + 1    = 8T(n/4) + 7
      = 8(2T(n/8)+1) + 1    = 16T(n/8) + 15
      = 2^(k+1) + 2^(k+1) - 1
      = 2*2^(k+1) - 1
      = 2^(k+2) - 1.

我们还可以看一下T（n）的前几个元素，分别是1、3、5、7、9等，因此T（n）= 2n-1

时间复杂度： O（n）
T（32） = T（2 ^ 5）= 2 ^（5 + 1）-1 = 64-1 = 63

递归的替代方法

1 个答案: