动态编程。 4xn矩阵，如何在O（n）中找到最大和

Question

我没有什么限制。我不能从共享边的单元格中选择值（对角线也可以）。我可以从每一列中选择多个元素。

例如。我有一个矩阵

1 3 6 10 3
4 2 6 7  9
5 1 8 3  3
9 2 9 1  1 

如果我选择1和5，首先我必须选择2和2，第二个是6和8，依此类推。

我能想出的最好方法是蛮力执行算法，但这是O（n ^ 4）任何想法吗？ 我看过匈牙利算法，但是它在O（n）中也不起作用。

谢谢！

Answer 1

如果矩阵限制为4 × n，我们可以运行一个动态程序。假设我们对任何列的选择只能是以下一种：

a) x  b) -  c) -  d) -
   -     x     -     -
   -     -     x     -
   -     -     -     x

e) x  f) -  g) x  h) -
   -     x     -     -
   x     -     -     -
   -     x     x     -

当我们为元素选择选择模式f(i, p)时，我们可以定义i代表直到第p列的最大和。然后：

f(i, a) = sum ith column elements pattern a + max(
  f(i - 1, b),
  f(i - 1, c),
  f(i - 1, d),
  f(i - 1, f),
  f(i - 1, h)
)

f(i, b) = sum ith column elements pattern b + max(
  f(i - 1, a),
  f(i - 1, c),
  f(i - 1, d),
  f(i - 1, e),
  f(i - 1, g),
  f(i - 1, h)
)

etc.

由于p仅限于8个选择，因此搜索空间为O(n * 8) = O(n)。