Question

我需要根据给定的规范构造并证明循环不变性：

{n > 0} P {q = | {j: a[j]=x and 0 <= j < n} |}

其中 | A | 是集合A的元素数量。这意味着 q 等于数组 a 等于 x 。

代码 P 指定为：

{ int i = 0, q = 0; while (i != n){ if (a[i] == x) q = q + 1; i = i + 1; }

我知道循环不变性必须为真：

循环开始之前

在每次循环之前

循环终止后

但是我不知道如何找到正确的循环不变式，这将使我随后显示P的部分正确性。我已经尝试查看循环的每个迭代以及随机 n ， x 和 a [0 ... n-1] 以查看在循环运行时组合的哪些值是恒定的，但没有帮助。

Answer 1

仔细查看您的代码。刚开始时，q为0，并且仅在找到== x的新元素时才会增长。所以

q = | {j: a[j]=x and 0 <= j < i} |

是您不变式的一部分。请注意，在您的规范中，您使用的是< n而不是< i。还请注意，在循环终止时，i == n。因此，一开始它也是有效的。两者之间的任何时候也都是如此：到目前为止，很好。还有其他东西吗？是的，我们也应该声明

0 <= i <= n －因为它描述了i的值的范围（否则i可以自由地在数组之外冒险）。

这就是全部吗？是的-没有其他循环状态可以描述。因此，您的完整不变式看起来像

q = | {j: a[j]=x and 0 <= j < i} | and 0 <= i <= n

解决这些练习时，您可以尝试以下两个步骤：

尝试以纯文本形式描述算法中发生的情况：“我将i从0扫描到n-1，在n处停止，每时每刻，我将q保持在{我在数组中找到的x中的“”。必须提及循环中涉及的所有变量！。
将纯文本翻译成数学，同时还要确保您的后置条件反映在不变式上，通常用循环计数器（在这种情况下为n）来代替i li>

作为思想实验，请尝试使用等效循环（但从末尾开始重复）来编写不变量：

{
int i = n-1, q = 0;
while (i >= 0){
    if (a[i] == x)
        q = q + 1;
    i = i - 1;
}

将鼠标悬停以寻找答案（但请先找出答案）。

q = | {j: a[j]=x and i < j < n} | and -1 <= i < n 注意不同的限制，反映出i的扫描范围不同；但整体结构相同

如何构造和证明循环不变性，从而证明其部分正确性

1 个答案: