Question

这个问题是要求参考或解释。主要思想是：如果我从Coq的标准库中添加每个公理怎么办？会引起矛盾还是彼此调适？除了Coq的标准库以外，还有哪些其他有关Coq的可靠信息来源。（我看到了一堆从90年代到80年代的论文。显然有很多类型理论的变体。哪一个是当代Coq的？或者我应该认为“ https://coq.inria.fr/refman/的所有内容都可以在{{ 3}}和标准库中。“）

（A）您是否知道可以证明某些公理可以适当地添加到Coq中的论文或其他来源？适当地，这意味着扩展的系统将是先前OR的保守扩展，将被认为是安全的。

（B）我个人对这些公理感兴趣：

0）ex2sig（一致吗？）

Axiom ex2sig : forall (A:Type) (P:A->Prop), @ex A P -> @sig A P.

1）LEM

2）功能扩展性

Axiom functional_extensionality_dep : forall {A} {B : A -> Type},
  forall (f g : forall x : A, B x),
  (forall x, f x = g x) -> f = g.

3）选择

Theorem choice :
 forall (A B : Type) (R : A->B->Prop),
   (forall x : A, exists y : B, R x y) ->
    exists f : A->B, (forall x : A, R x (f x)).

4）“术语作为类型”

Definition E := Type.
Axiom R : forall x : E, x -> E.  
Axiom R_inj : forall (x : E) (a b : x), R x a = R x b -> a = b.

5）不相关性证明

Axiom proof_irrelevance : forall (P:Prop) (p1 p2:P), p1 = p2.

6）...（您可能会在评论中建议您的公理）

例如马尔可夫原理

Parameter P:nat -> Prop.
Theorem M:((forall n,(P n \/ ~ (P n)))/\ ~(forall n, ~(P n))  -> exists n,P n).

但是我们对马尔可夫原理并不十分感兴趣。因为我们需要使用LEM的一些非常强大的经典理论（因此证明了马尔可夫原理），某些最强形式的Choice（这将暗示LEM），可扩展性等（我们还可以添加哪些公理？）（顺便说一句， Coq中有很多可供选择的变体：关系）

p.s。在Coq中广泛使用“非计算”公理应被视为滥用吗？（我认为没有，但是我不确定。）添加公理后，我会失去Coq的哪些属性？（您可能会说参考和/或意见）

p.p.s。这个问题很大，由许多相互联系的部分组成，因此欢迎部分回答。

哪些公理可以安全地添加到Coq？

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