用权系数逼近二维函数

Question

我需要近似表格定义的2D函数，如

x0 y0
x1 y1
...
xn yn

对于每个点，我都有“权重”（此度量的均方根误差）。我需要写一个这样的函数：

typedef std::vector< double > DVector;
void approximate2D(
      const DVector & x
    , const DVector & y
    , const DVector & weights
    , double newMeasuredX
    , double newMeasuredY
    , double newMeasuredWeight
    , double & outApproximatedX
    , double & outApproximatedY
);

获取一个值（outApproximatedX; outApproximatedY）取决于先前的值和新的测量值。

根均方（RMS）误差应该如下使用：如果RMS误差最小，那么期望的函数应该接近这一点，如果RMS误差是最大的，那么这个点应该用于贡献微乎其微

近似应该是线性的（我认为），因为我知道，所需的函数是一条直线。

用Google搜索了大约半天，但没有找到任何建议。

谢谢。

Answer 1

要通过 = r 最小化到 ax + 线的最近距离的总平方，您不能使用矩阵方程，因为问题不再是线性的。

到线的距离可以定义如下。然后，您要最小化的函数是 f （ a ， b ， r ）。当 a ² + b ² = 1时，此任务会有所简化。

如果扩展它，它会变得非常复杂。我设法将其分解并稍微简化一下。

要计算多个点（ O （ n ² ））可能会变慢。然而，有一个简单的优化。您可以存储部分结果，而不是一遍又一遍地计算总和：

这里的σ变量是常用术语的累加器。每次要在计算中添加另一个点时，都要更新9个变量，并使用这些变量计算 a ， b 和 r 之前。

Answer 2

你想要的是一个空间填充曲线，无论是Hilbert曲线还是Peano曲线。 sfc是2D或XD网格的良好近似。

Answer 3

非常感谢MizardX。很好的帮助。这就是我写的（如果有人需要:)） http://liveworkspace.org/code/815e2cc0810ab8ef14951252cca3fbbf

P.S。我不能投票支持MizardX（没有声望）。有人可以帮我吗？