Question

我一直在一个项目中，我需要找到给定非线性微分方程的解决方案，请参见下图：

现在，我尝试使用matlabs内置函数bvp4c，但是语法很困难，我不知道结果是否可靠。对于某些值，bvp4c函数只会生成一个错误。我还考虑了边界条件，请参见下图：

对不起，这些数字太大了。现在我知道这不是一个数学论坛，但是我需要从数字上解决这个问题，我想用可用的最佳方法解决它。到目前为止，我的代码如下：

  const copy = str => {
      const el = document.createElement('textarea');  // Create a <textarea> element
      el.value = str;                                 // Set its value to the string that you want copied
      el.setAttribute('readonly', '');                // Make it readonly to be tamper-proof
      el.style.position = 'absolute';                 
      el.style.left = '-9999px';                      // Move outside the screen to make it invisible
      document.body.appendChild(el);                  // Append the <textarea> element to the HTML document
      const selected =            
        document.getSelection().rangeCount > 0        // Check if there is any content selected previously
          ? document.getSelection().getRangeAt(0)     // Store selection if found
          : false;                                    // Mark as false to know no selection existed before
      el.select();                                    // Select the <textarea> content
      document.execCommand('copy');                   // Copy - only works as a result of a user action (e.g. click events)
      document.body.removeChild(el);                  // Remove the <textarea> element
      if (selected) {                                 // If a selection existed before copying
        document.getSelection().removeAllRanges();    // Unselect everything on the HTML document
        document.getSelection().addRange(selected);   // Restore the original selection
      }
    };

重复我的问题，哪种方法是最好的，最容易理解和实现的最简单方法？也许是射击？

最诚挚的问候SimpleP。

编辑到目前为止，我得到的结果是

该图显示f对\ theta。整数应该是1。

Answer 1

合并积分的通用方法是将F的反导数f添加到ODE系统。也就是说，作为第四成分和变量

F' = f  with   F(0)=0,  F(alpha)=1

和其他组件需要移动一个索引，

function v=flow_init(x)
v=[sin(x); 1; 1; 1-cos(x)];

function dydx=flow_ode(x,y)
% y is [ f, f', f'', F ]
q=0.0005;
v=1;
dydx = [y(2); y(3); 2*q/v*y(1)*y(2)-4*y(2); y(1)];

function res=flow_bc(ya,yb)
res=[ya(1); ya(4); yb(1); yb(4)-1];

使用python：

q, v = 0.0005, 1
def flow_ode(t,u): return [ u[1], u[2], 2*q/v*u[0]*u[1]-4*u[1], u[0] ]

def flow_bc(u0, u1): return [ u0[0], u0[3], u1[0], u1[3]-1 ]

x = x_init = np.linspace(0,1,11);
u_init = [ 6*x*(1-x), 0*x, 0*x, x ]

res = solve_bvp(flow_ode, flow_bc, x_init, u_init, tol = 1e-5)

print res.message
if res.success:
     x = x_sol = np.linspace(0,1,201);
     u_sol = res.sol(x_sol);
     plt.subplot(2,1,1)
     plt.plot(x_sol, u_sol[0]); plt.plot(x, 6*x*(1-x), lw=0.5); plt.grid()
     plt.subplot(2,1,2)
     plt.plot(x_sol, u_sol[3]); plt.grid()
     plt.show()

正如人们所看到的，这里的最初猜测非常接近。由于ODE是4f'+f'''=0的小扰动，因此解必须接近其解a+b*sin(2x)+c*cos(2x)，其解的边界条件为

f(x)=A * [ (1-cos(2))*sin(2*x)-sin(2)*(1-cos(2*x)) ]
    = 4*A*sin(1) * sin(x)*sin(1-x)

使用A，使得积分为1。

如果ODE中的参数值分别为q=1和v=0.0005，则解决方案将具有大小为sqrt(v/q)的边界层。

非线性微分方程，如何在MATLAB中数值求解？

1 个答案: