Question

I asked the following question on the CS SE：

例如，在HoTT书中的引理6.4.1的证明中，一个函数   简单地对函数进行归纳定义可简单地应用于路径loop   和refl，然后使用loop和refl之间的路径   （大概是通过f来实现）来构建f loop和f refl之间的路径：
假设loop = refl base。 [...]使用x : A和p : x = x，有一个f : S1 → A定义的函数f(base) :≡ x和 f(loop) := p，我们有
p = f(loop) = f(refl base) = refl x.
但是在立方环境中，事情并没有那么明确。 f(loop)是对于某些f(loop i)，i : I的类型不好，只有p = <i> f (loop i) = <i> f (refl base i) = refl x是。但是那以上证明成为
∀ i → f (loop i) = f (refl base i)
但是，在那儿并不需要某种“间隔可扩展性” 中间步骤？中间步骤的正当性是什么立方型理论？我可以看到如何证明<i> f (loop i) = <i> f (refl base i)，但是如何证明这一点到p？

我还没有收到回复，所以我将在这里尝试，并用具体的Agda代码来支持它。

我正尝试将上述证明转换为Cubical Agda，如下所述。首先，给定f，hyp : loop ≡ refl {x = base} p : x ≡ x f : S¹ → A f base = x f (loop i) = p i的定义很简单：

loop

我们可以沿着f (loop i) ≡ f (refl i) 逐点证明proofAt_ : ∀ i → f (loop i) ≡ f base proofAt i = cong (λ p → f (p i)) hyp：

  proofAt_ : ∀ i → f (loop i) ≡ f base
  proofAt i = begin
    f (loop i)             ≡⟨ cong (λ p → f (p i)) hyp ⟩
    f (refl {x = base} i)  ≡⟨⟩
    f base                 ∎

（要了解原因，这里有更详细的说明：

  proof : p ≡ refl
  proof = begin
    (λ i → p i)             ≡⟨⟩
    (λ i → f (loop i))      ≡⟨ (λ i → proofAt i) ⟩
    (λ i → f base)          ≡⟨⟩
    (λ i → refl {x = x} i)  ∎

）

但是，如果我试图从整体上证明这一点：

_342

它失败了，我想因为我正在尝试使用“间隔可扩展性”：

无法实例化解决方案f (loop i) ≡ f base的元变量i，因为它包含变量proofAt i，该变量不在范围内。   元变量或与元变量无关，但与   解决方案

在检查表达式_A_342的类型为proofAt_时

尝试将它转换为proof : p ≡ refl proof = begin (λ i → p i) ≡⟨⟩ (λ i → f (loop i)) ≡⟨ proofAt_ ⟩ (λ i → f base) ≡⟨⟩ (λ i → refl {x = x} i) ∎的操作也失败了，但是由于另一个原因（我认为，通常没有路径的eta转换）：

((i : I) → f (loop i) ≡ f base)

_344 ≡ _y_345！= <;Agda.Primitive.Setω类型 CacheManager

那么，以上HoTT证明的正确CTT音译是什么？

Answer 1

有关原始解决方案的信息，请参见塞桑的答案。或者，有一个简单的解决方案：

proof : p ≡ refl
proof i j = f (hyp i j)

或proof = cong (cong f) hyp。关键在于hyp是二维的，并且f作用于0维元素，因此f应该应用于hyp的0维分量。 / p>

Answer 2

路径确实具有eta规则

https://github.com/Saizan/cubical-demo/blob/master/examples/Cubical/Examples/AIM_Demo/DemoPath.agda#L59

但是类型路径与间隔“ I”中的函数类型不同，因此有时您仅需要lambda抽象即可在两种类型之间进行转换。（Lambda和应用程序在这两种类型之间是临时重载的。）

f loop确实不会进行类型检查，即使在HoTT中也是如此。但是，本书将其用作ap f loop的简写，其中ap = cong来自立方库。

此外，您的证明可以完成，但是您需要正确使用proofAt_：i中的proof维度是连接cong f loop和{{1}的维度}，因此您想提供refl {x = f base}作为i的第二个参数。

proofAt_

间隔可扩展？

2 个答案: