我想证明伊莎贝尔（Isabelle）这样的引理
lemma assumes "y = (THE x. P x)" shows "P (THE x. P x)"
我想象这个假设意味着THE x. P x存在并且定义明确。所以这个引理也应该是真的
lemma assumes "y = (THE x. P x)" shows "∃! x. P x"
我不确定如何证明这一点，因为我浏览了在Isabelle的查询框中键入“ name：the”时出现的所有定理，它们似乎没有用。我也找不到THE的定义，尽管我对它的含义有一个直观的了解，但我不确定如何定义它。我尝试过类似的方法，尽管我确定这是错误的
"(∃!x. P x) ⟹ THE x. P x = (SOME x. P x)"
甚至可能无用，因为我也不知道如何定义SOME！
答案 0 :(得分：3)
不幸的是，该假设不并不暗示THE x. P x“存在”，至少在某种意义上说并不令人满意。由于HOL是一个整体逻辑，因此逻辑中没有“定义明确”的概念。
如果在没有唯一满足THE x. P x的唯一x的情况下写P，则THE x. P x 仍然是“存在”的值在HOL中，但是您不能证明任何有意义的东西（很像undefined常量），当然也不能证明P拥有任何意义。 SOME的情况也是如此，与THE基本上相同，不同之处在于THE的财产必须有一个 unique 证人并且对于SOME而言，不需要唯一性。
显示有关SOME x. P x的事物的典型方法是，首先显示见证人存在（即∃x. P x），然后将其插入到someI_ex之类的规则中，然后告诉您P (SOME x. P x)确实成立。
对于THE来说，这是相同的，不同之处在于您必须证明确实有一个 证人–这就是∃!的含义（参见定理{ {1}}）。显示这种独特的存在可以通过例如使用规则Ex1_def或ex_ex1I。然后，您可以将该事实插入ex1I和theI'中，以获得所需的结果。
顺便说一句，the1_equality的常量称为SOME（就像在“希尔伯特ε运算符”中一样），其他常量是Eps和The。如果您输入例如Ex1，您可以按住Ctrl键单击term Eps，然后转到其定义（或者在Eps和Eps的情况下，则取其公理）。
还有一个The用于自然数的组合器，它与LEAST非常相似，有时可能非常有用（它被称为“最小”，引理是SOME和{{1 }}。
另一注：这种想法仅仅是因为您可以写下一个术语，而在直观意义上不一定是“定义明确的”，这在Isabelle中很常见：您可以除以零，可以写下导数不可微分函数，不可测集的度量，不可积函数的积分等。然后，您将得到某种虚拟值（例如，0除以零或完全{{1}这样荒谬的东西） }），但大多数讨论导数，积分等的实际属性的定理确实明确要求事物的定义明确。