Question

我需要定义显式表达式来找到点（x1，y1）和（x2，y2），它们是半径为r（已知）和两条线（已知方程）的圆的两个切点。圆的中心（x0，y0）是不已知的，而 not 则是必需的。参见下面的图片。

对于我来说，我具有以下条件：

第一象限中的问题：x> 0，y> 0
行y = m1 * x + b1且m1 <= 0，b1> = 0
行y = m2 * x + b2，其中m2 b1
y = m1 * x + b1上方的圆心，所以y0> y1
r.h.s。的圆心y = m2 * x + b2，所以x0> x2
与y = m1 * x + b1的线相切，所以（y1-y0）/（x1-x0）=-1 / m1
与y = m2 * x + b2的线相切，所以（y2-y0）/（x2-x0）=-1 / m2

我计算出以下内容：

x1, y1, x2, y2 = var('x1, y1, x2, y2')   # tangent points
m1, b1, m2, b2 = var('m1, b1, m2, b2')   # lines' eqn
x0, y0, r = var('x0, y0, r')             # cirsle's eqn

eq1 = (x1 - x0)^2 + (y1 - y0)^2 - r^2 == 0
eq2 = (x2 - x0)^2 + (y2 - y0)^2 - r^2 == 0
eq3 = y1 - m1*x1 - b1 == 0
eq4 = y2 - m2*x2 - b2 == 0
eq5 = (y1-y0)/(x1-x0) == -1/m1
eq6 = (y2-y0)/(x2-x0) == -1/m2

# unknown: x0,y0,x1,y1,x2,y2
#   known: m1,b1,m2,b2,r

solve([eq1,eq2,eq3,eq4,eq5,eq6,
       x1>0,y1>0,x2>0,y2>0,
       m1<=0,b1>=0,m2<m1,b2>b1,
       x0>x2,y0>y1,r>0],x0,y0,x1,y1,x2,y2)

为什么这不足以定义问题？

Answer 1

我既不了解Sage（我认为您的代码已包含在其中）的细节，也不知道Mathematica，但我可以指出一些困难。

首先，我认为您需要将定义的数学变量“捕获”到语言变量中。所以您可能需要

x1, y1, x2, y2 = var('x1, y1, x2, y2')   # tangent points
m1, b1, m2, b2 = var('m1, b1, m2, b2')   # lines' eqn
x0, y0, r = var('x0, y0, r')        # cirsle's eqn

接下来，您将所有方程式放入一个solve命令中。从图中可以看到，圆上和两条线上都没有点，但是您尝试同时找到满足所有方程的所有点。您应该将单个solve分成两个命令，每行一个。

接下来，您的要求中没有任何东西会使您的线与给定曲线相切。对于几乎任意的圆和线，可能没有一个，一个或两个交点，并且极不可能出现一个精确的点。您需要限制每条线与曲线相切。该限制很难编程，似乎比仅找到相交点还容易。您确定所使用的方法是解决问题的好方法吗？

要确保切点在第一象限中还存在其他困难，但这并不比其他困难重要。

最后，您的代码中没有任何内容可以表明您的已知值是m1, b1, m2, b2, r，并且您希望x0, y0退出最终表达式。（您确实声明想要x1, y1, x2, y2的表达式。）我不知道如何在Sage或Mathematica中这样做。

所涉及的数学问题并不那么困难。点(x0, y0)必须位于与给定线平行的线上，并且与这些线的距离为r。得出(x0, y0)有4分。对于每一个点，您都会在给定的直线上找到最接近这些点(x0, y0)的点。总共得到四个点，然后您只需在第一象限中选择一个即可。另一种更快的三角方法是找到两条给定线之间的角度，然后可以使用trig来找到所需点到相交点的距离，然后找到这些点。

您确定需要Sage / Mathematica来做到这一点吗？

Answer 2

与两条给定直线在距离R处的平行线在圆心处相交。找到这一点后，将其投影在两条原始线上。

这些操作具有简单的解析表达式。

让两行分别为a'x+b'y+c'=0，a"x+b"y+c"=0，其中a'²+b'²=1, a"²+b"²=1（这是比您的方程式更通用的形式）。

平行线的交点是系统的解决方案

a'x+b'y+c'-r=0
a"x+b"y+c"-r=0,

根据克莱默法则

    |c'-r  b'| / |a'  b'|         |a'  c'-r| / |a'  b'|
u = |c"-r  b"| / |a"  b"|,    v = |a"  c"-r| / |a"  b"|

和投影的坐标简单地由

给出

x' = x - a (a'u+b'v+c)
y' = y - b (a'u+b'v+c)

x" = x - a (a"u+b"v+c)
y" = y - b (a"u+b"v+c)

Answer 3

将x1，y1，x2和y2计算为未知数

Clear[m1, x1, b1, m2, x2, b2, r, x0]
y1 = m1 x1 + b1;
y2 = m2 x2 + b2;
s1 = r/Sqrt[1 + 1/m1^2];
s2 = r/Sqrt[1 + 1/m2^2];

x0 = x0 /. FullSimplify@Solve[
     m1 x0 + b1 + (s1 (-(1/m1)) - s1 m1) == 
      m2 x0 + b2 + (s2 (-(1/m2)) - s2 m2), x0][[1]]

（-b1 + b2 + Sqrt [1 + 1 / m1 ^ 2] m1 r-Sqrt [1 + 1 / m2 ^ 2] m2 r）/（m1-m2）

y0 = FullSimplify[m1 x0 + b1 + (s1 (-(1/m1)) - s1 m1)]

（b2 m1-m2（b1 + m1（-Sqrt [1 + 1 / m1 ^ 2] + Sqrt [1 + 1 / m2 ^ 2]）r））/（m1-m2）

x1 = x1 /. FullSimplify@
   Solve[{(x1 - x0)^2 + (y1 - y0)^2 == r^2}, x1][[1]]

（r + m1 m2 r- Sqrt [1 + 1 / m1 ^ 2] m1（b1-b2 + Sqrt [1 + 1 / m2 ^ 2] m2 r））/（Sqrt [ 1 + 1 / m1 ^ 2] m1（m1-m2））

x2 = x2 /. FullSimplify@
   Solve[{(x2 - x0)^2 + (y2 - y0)^2 == r^2}, x2][[1]]

（b2-b1（1 + m2 ^ 2）+ Sqrt [1 + 1 / m1 ^ 2] m1 r + m2（b2 m2-（Sqrt [1 + 1 / m2 ^ 2] + m1（-Sqrt [1 + 1 / m1 ^ 2] + Sqrt [1 + 1 / m2 ^ 2]）m2）r））/（（m1- m2）（1 + m2 ^ 2））

使用值进行测试

m1 = -0.28; b1 = 1.64; m2 = -1.08; b2 = 3.84;
r = 3.9062658021579098;

{x1, y1}
{x2, y2}

{3.81302，0.572355}

{2。，1.68}

Show[Plot[
  {m1 x + b1,
   m1 x + b1 + (s1 (-(1/m1)) - s1 m1),
   m2 x + b2,
   m2 x + b2 + (s2 (-(1/m2)) - s2 m2)}, {x, 0, 10},
  PlotRange -> {{0, 10}, {0, 10}}, AspectRatio -> 1],
 Graphics[Circle[{x0, y0}, r]]]

在第一象限中找到圆和两条线的切点

3 个答案: