Question

如果我有一般功能，f(z,a)，z和a都是真实的，而功能f会为所有z提供实际值除了在某个区间(z1,z2)中，它变得复杂。如何使用Mathematica确定z1和z2（将使用a）（或者这可能）？有什么限制？

对于测试示例，请考虑函数f[z_,a_]=Sqrt[(z-a)(z-2a)]。对于实数z和a，除了区间(a,2a)之外，它将采用实数值，在此处它变为虚数。如何在Mathematica中找到此间隔？

一般来说，我想知道如何在一般情况下以数学方式找到它。对于只有两个这样的变量的函数，可能很容易做出黎曼曲面的等高线图并观察分支切割。但是，如果它是一个多变量函数呢？人们可以采取一般方法吗？

Answer 1

您所看到的是由“a”参数化的黎曼曲面。考虑将从参数化黎曼曲面的这个分支产生的代数（或解析）关系g（a，z）= 0。在这种情况下，它只是g ^ 2 - （z - a）*（z - 2 * a）== 0.更一般地说，它可能是使用Groebnerbasis获得的，如下所示（不保证在没有一定数量的用户的情况下这总能工作）干预）。

grelation = First[GroebnerBasis[g - Sqrt[(z - a)*(z - 2*a)], {x, a, g}]]

Out [472] = 2 a ^ 2 - g ^ 2 - 3 a z + z ^ 2

作为参数'a'的函数，分支点的必要条件是'g'的零集不在这些点的邻域中给出（单值）函数。这反过来意味着这种关系相对于g的偏导数消失了（这来自多变量微积分的隐函数定理）。因此，我们发现格里奥及其衍生物都消失了，并将'z'解释为'a'的函数。

Solve[Eliminate[{grelation == 0, D[grelation, g] == 0}, g], z]

Out [481] = {{z - ＆gt; a}，{z - ＆gt; 2 a}}

Daniel Lichtblau Wolfram Research

Answer 2

对于多项式系统（以及其他类别的系统），Reduce可以完成这项工作。

E.g。

In[1]:= Reduce[Element[{a, z}, Reals] 
           && !Element[Sqrt[(z - a) (z - 2 a)], Reals], z]
Out[1]= (a < 0 && 2a < z < a) || (a > 0 && a < z < 2a)

对于我检查的其他基本功能组合，这种方法也有效（通常为具有多个分支切割的函数提供非常复杂的解决方案）。

一般来说，为了找到分支切口（而不是你感兴趣的简单分支点类），我不知道一个好的方法。查找Mathematica使用的详细约定的最佳位置是functions.wolfram站点。

我记得有一段时间读过一篇好文章......我会试着找到它....

没错！我在分支切割分析中看到的最简单方法是使用unwinding number。有一篇论文“Reasoning about the elementary functions of complex analysis”关于这个杂志“人工智能和符号计算”。它和类似的论文可以在作者的一个主页上找到：http://www.apmaths.uwo.ca/~djeffrey/offprints.html。

Answer 3

对于一般功能，您不能让Mathematica计算它。即使对于多项式，找到确切的答案也需要时间。我相信Mathematica在使用Reduce时会使用某种量词消除，这需要时间。

对你的功能没有任何限制（它们是多项式，连续，平滑吗？）一个人可以轻松构建Mathematica无法进一步简化的功能： f [x_，y_]：= Abs [Zeta [y + 0.5 + x * I]] * I

如果此函数对于任意x和任何-0.5＆lt; y＆lt; 0或0

得到方程的分支点

3 个答案: