用一组点求解方程

Question

我有一套积分。基本上，我有P = f（t）。

我说，有50次测量。 P值为50，时间函数。这些价值观遵循既定法则。

我要做的就是找到法律中参数的值，就是这样。基本上，我必须使用最佳曲线拟合点。这是法律：

P = V.t - ((V - W)(1 - exp(-k.t)) / k)

我需要做的是找到V，W和k的数值。我有t和P.你对如何做到了吗？

编辑：

以下是我想要获取的屏幕截图：

在图片上：

• V是Vs
• W是Vi
• k是k

这就是我在reptilicus的帮助下获得的：

http://i.imgur.com/f59Eo29.png

import numpy as np
from scipy.optimize import curve_fit
from matplotlib.pyplot import *
import xlrd

def myFunc(t, V, W, k):

    y = V * t - ((V - W) * (1 - np.exp(-k * t)) / k)

    return y

classeur = xlrd.open_workbook(path)
names_sheets = classeur.sheet_names()

sheet = classeur.sheet_by_name(names_sheets[0])

row_start = 2

time = sheet.col_values(0, row_start)
fluo = feuille.col_values(4, row_start)

time = [ index for index in time if index ]
fluo = [ index for index in fluo if index ]

# this generates some fake data to fit. For youm just read in the 
# data in CSV or whatever you've
x = np.array(time)
y = np.array(fluo)

#fit the data, return the best fit parameters and the covariance matrix
#popt, pcov = curve_fit(myFunc, x, yn)
popt, pcov = curve_fit(myFunc, x, y)
print(popt)
print(pcov)

#plot the data
clf() #matplotlib
plot(x, y, "rs")
#overplot the best fit curve
plot(x, myFunc(x, popt[0], popt[1], popt[2]))
grid(True)
show()

不错。我设法提取了我的excel工作簿的数据，并绘制了它。但正如你所看到的，我得到了一个线性回归，我不想要的。我的目标是重现他们与Origin 8的契合度。

编辑：

我有一些消息。在我的团队中做到这一点的最后一个人告诉我他如何使用Origin。事实上，他们也使用最小二乘法，但他们找到了chi 2最小化的参数。该软件进行了一些迭代，并优化了参数。

编辑2：

因为我花了很长时间才弄明白，所以我在这里分享我研究的结果。我面临的主要问题是我的价值观“太小”。实际上，我的y值大约为10 ^ -7。正如Fitting curve: why small numbers are better?所解释的那样，1的数量对于拟合更好。

此外，至少在我的情况下，由于我的数据是这个顺序，我不需要给出一些初始参数（默认情况下，它们被设置为1）。所以我只是“规范化”了我的价值观。例如，我将时间值从秒变换为小时，并且我将y ^值乘以10 ^ 7，其大小为10 ^ -7。 然后，我转换回所获得的参数，以使它们处于所需的统一体中。这是我的代码：

import numpy as np
from scipy.optimize import curve_fit, leastsq
from matplotlib.pyplot import *

def myFunc(t, Vs, Vi, k):

    y = Vs * t - ((Vs - Vi) * (1 - np.exp(-k * t)) / k)

    return y

raw_x = some_input 
raw_y = some_input 

# scaling data
time = [ index /3600 for index in raw_x if index or index==0 ]
fluo = [ index*10**7 for index in raw_y if index or index==0 ]

x = np.array(temps)
y = np.array(fluo)

popt, pcov = curve_fit(myFunc, x, y, maxfev=3000)

# Good unities
popt2 = list()
popt2 = [ popt[0] / 3600 * 10**-7, popt[1] / 3600 * 10**-7, popt[2] / 3600 ]

#plot the data
clf() #matplotlib
plot(raw_x, raw_y, "rp")
plot(raw_x, myFunc(raw_x, popt2[0], popt2[1], popt2[2]), 'b')
grid(True)
show()

这是一张说明差异的图片：

http://i.imgur.com/YXkJG5j.png

蓝色图是使用通过单位重新缩放获得的参数的拟合曲线（并且在良好的单位中转换回来）。绿色是通过拟合原始统一而获得的曲线。

感谢各位的帮助。

Answer 1

只需在curve_fit中使用scipy.optimize：

import numpy as np
from scipy.optimize import curve_fit
from pylab import *

def myFunc(t, V, W, k):
    y = V * t - ((V - W) * (1 - np.exp(-k * t)) / k)
    return y

# this generates some fake data to fit. For youm just read in the 
# data in CSV or whatever you've
x = np.linspace(0,4,50)
y = myFunc(x, 2.5, 1.3, 0.5)
# add some noise to the fake data to make it more realistic. . .
yn = y + 0.2*np.random.normal(size=len(x))

#fit the data, return the best fit parameters and the covariance matrix
popt, pcov = curve_fit(myFunc, x, yn)
print popt
print pcov

#plot the data
clf()
plot(x, yn, "rs")
#overplot the best fit curve
plot(x, myFunc(x, popt[0], popt[1], popt[2]))
grid(True)
show()

这给出了类似下图的内容。红点是（噪声）数据，蓝线是最佳拟合曲线，具有以下特定数据的最佳拟合参数：

[ 2.32751132, 1.27686053, 0.65986596]

这与2.5,1.3,0.5的预期参数非常接近。差异是由于我添加到假数据中的噪音。

Answer 2

由于您的点数多于未知系数，因此您需要进行最小二乘拟合。此计算将为您提供最小化函数和所有点之间的均方误差的系数。

因此，将50点替换为假设的等式，得到3个系数的50个等式。这很容易表示为矩阵：

Ax = b

其中未知向量x是你的系数。

通过A的转置对两侧进行预乘，并使用矩阵求解器求解。

首先绘制您拥有的数据。选择你开始的方程将使你的工作更容易或更难。你确定这个领先的术语吗？如果这不合适，你可以采用双方的自然对数，这是一个简单的线性方程。领先一词使得k的系数变得更难。在这种情况下，这是一个非线性解决方案。明智地选择。