Question

我遇到了一个算法问题，起初看起来很简单，但我很困惑，不知道该怎么办！问题如下：

假设我们有一个数字n，然后有一个n列和2 * n行的矩阵。就像幂集（例如，对于n = 2，我们有10,11,00,01）。这些行不一定遵循任何顺序。我们也可以在O（1）时间访问每个矩阵成员。现在，我们有（2 ^ n）-1个行，我们想在最短的时间内找到最后一行（请注意，有n *（2 ^ n-1）个成员，而我们只有O（2 ^ n）时间。我们应该怎么做？（我们有O（n）内存。尽管我不确定是否足够。如果您知道使用任何内存量的答案都可以）

示例输入：

示例输出：001

我试图通过流行的丢失位问题（通过对矩阵成员进行异或运算）对它进行建模，但是进展不大。

P.S。在C / C ++ / Java / Python上实现该算法的过程将很受赞赏，因为它可以使事情变得清晰起来。

P.S.S：您还可以引用一些消息来源吗？或告诉我您是如何得出答案的，以及您如何看待此类问题？

Answer 1

约束有点模糊，但是您可能正在寻找类似的东西：

检查所有2 ^ n行中的第一项，以确定缺失行中的第一项。 1或零将开始2 ^（n-1）行，另一个选项将开始2 ^（n-1）-1行-计数较低的项将开始丢失行。
检查2 ^（n-1）-1行中与缺失行相同的第二项，以找到缺失行中的第二项。
继续在缺失的行中查找所有n个项目。

如果将读取的元素总数相加，将得到2 ^ n + 2 ^（n-1）+ 2 ^（n-2）...，小于2 ^（n + 1），因此O（2 ^ n）

Answer 2

您这里有2个案例：

简并的情况：N == 1很明显。 0 -> 1和1 -> 0；您可以说它为~item
常规案例N > 1。您要做的就是异或所有值：

101 ^ 110 ^ 100 ^ 000 ^ 111 ^ 011 ^ 010 == 001

该算法具有O(N * 2**N)的时间复杂度（我们必须读取矩阵的每个单元格），并且需要O(n)空间（在“异或”时存储时间总和）。

C＃实现（ Linq ）：

  string source = "3 101 110 100 000 111 011 010";

  // "001"
  // new char[] { ' ', '\r', '\n', 't' } - to be on the safe side -
  // whatever delimiter is we'll get a correct array
  string result = source
    .Split(new char[] { ' ', '\r', '\n', 't' }, StringSplitOptions.RemoveEmptyEntries)
    .Skip(1) // we don't want "3"
    .Aggregate((sum, item) =>  // xoring strings
       string.Concat(sum.Zip(item, (x, y) => (char)((x - '0') ^ (y - '0') + '0'))));

让我们证明算法的正确性（N > 1）。

由于N > 1以及2**N >= 4以来，2**(N - 1)是一些偶数值。让我们看一下电源系列的所有2**N项的任意位

 000...0...0
 000...0...1
  ...
 111.......0
 111...1...1
       ^
     - N/2 '0's (even) and N/2 '1' (even), xor == 0

我们发现我们正好有N / 2个零和N / 2个零；所有这些位中的 xor 是距离0（因为N / 2 == 2**(N - 1)是一些偶数）。如果错过了一行，例如0...1...1我们有2的可能性：

缺少的位是1。因此，我们有N / 2个零和N / 2 - 1个零；所有位的 xor 返回1
缺少的位是0。因此，我们有N / 2 - 1个零和N / 2 - 1个零；所有位的 xor 返回1

由于^是按位运算（第j位的值与第i位的值无关），我们证明了位是正确的，整个值也是正确的。

在2 ^ n时间找到n * 2 ^ n矩阵中的缺失行算法问题

2 个答案: