Question

声明
这不是严格意义上的编程问题，但是大多数程序员不久就要处理数学（特别是代数），所以我认为答案可能会对将来的其他人有用。

现在问题
我试图检查维数n的m个向量是否是线性无关的。如果m == n，你可以使用向量构建一个矩阵并检查行列式是否为！= 0.但是如果m＆lt; N'

任何提示？

Answer 1

构造向量矩阵（每个向量一行），并在此矩阵上执行Gaussian elimination。如果任何矩阵行取消，则它们不是线性独立的。

琐碎的情况是当m> n，在这种情况下，它们不能是线性独立的。

Answer 2

构造一个矩阵M，其行是向量，并确定M的等级。如果M的等级小于m（向量的数量），则存在线性相关性。在确定M等级的算法中，一旦获得一行零，就可以停止该过程，但运行算法完成后会增加提供向量的跨越集的维度。哦，确定M等级的算法仅仅是高斯消除。

注意数值不稳定。请参阅Numerical Recipes中第二章开头的警告。

Answer 3

如果m<n，你将不得不对它们进行一些操作（有多种可能性：高斯消元法，正交化等，几乎任何可用于求解方程的变换都可以）并检查结果（例如，高斯消除=＆gt;零行或列，正交化=＆gt;零向量，SVD =＆gt;零奇异数）

然而，请注意，这个问题对于程序员来说是一个不好的问题，而这个问题对于程序来说是一个难题。这是因为每个线性相关的n<m向量集都附近有一组不同的线性独立向量（例如，问题在数值上不稳定）

Answer 4

这些天我一直在研究这个问题。

以前，我发现了一些关于高斯或高斯 - 乔丹消除的算法，但大多数算法仅适用于方阵，而不是一般矩阵。

您可以找到各种语言的伪代码和源代码。至于我，我将Python源代码转换为C ++，导致上面链接中提供的C ++代码在某种程度上是复杂的，不适合在我的模拟中实现。

希望这会对你有所帮助，祝你好运^^

Answer 5

如果计算能力不是问题，可能最好的方法是找到矩阵的奇异值。基本上你需要找到M'*M的特征值，并查看最大值与最小值的比率。如果比率不是很大，则向量是独立的。

Answer 6

另一种检查m行向量是线性无关的方法，当放入大小为mxn的矩阵M时，是计算

det(M * M^T)

即。 mxm方阵的行列式。当且仅当M具有某些依赖行时，它将为零。然而，高斯消除通常应该更快。

Answer 7

对不起男人，我的错误......

上面链接中提供的源代码证明是不正确的，至少我测试的python代码和我转换的C ++代码并没有始终生成正确的答案。（虽然对于上面链接中的例子，结果是正确的:) - ）

要测试python代码，只需将mtx替换为

即可

[30,10,20,0],[60,20,40,0]

，返回的结果如下：

[1,0,0,0],[0,1,2,0]

尽管如此，我还是有办法解决这个问题。就是这次我将rref函数的matalb源代码转换为C ++。您可以运行matlab并使用type rref命令获取rref的源代码。

请注意，如果您正在处理一些非常大的值或非常小的值，请确保在c ++中使用long double数据类型。否则，结果将被截断并与matlab结果不一致。

我一直在ns2中进行大型模拟，所有观察到的结果都是合理的。希望这会帮助你和任何其他已经解决问题的人......

Answer 8

一种非常简单的方法，即计算效率最高的方法是简单地删除随机行，直到m=n，然后应用行列式技巧。

简而言之，原因是m x n方程组的任何解决方案也是n x n方程组的解决方案（您试图解决Av=0）。有关更好的解释，请参阅Wikipedia，它可以比我更好地解释它。