有效地检查三个二元向量是否在有限域上线性独立

Question

我在程序中给出了三个由unsigned int表示的二进制向量v1，v2，v3和一个有限字段F，它也是一组二进制向量。我需要检查向量是否是线性无关的，即F中没有f1，f2，使得f1 * v1 + f2 * v2 = v3。

直接蛮力解决方案是迭代场并检查所有可能的线性组合。

是否存在更有效的算法？

谢谢。

UPD：我想强调两点：1）字段元素是向量，而不是标量。因此，场元素f1和给定矢量vi的乘积是点积。所以高斯消除不起作用（如果我没有遗漏某些东西）; 2）该字段是有限的，所以如果我发现某些f1的f1 * v1 + f2 * v2 = v3，则f2并不意味着f1，f2属于F。

Answer 1

如果向量在r ^ 2中，那么它们是自动相关的，因为当我们创建它们的矩阵并将其缩小为梯形时，将至少有一个自由变量（在这种情况下只有一个）。

如果向量在R ^ 3中，那么你可以从它们制作一个矩阵。一个2d数组然后你可以采取该矩阵的决定因素。如果行列式等于0，那么矢量是线性相关的，否则不是。

如果向量在R ^ 4，R ^ 5等中，则适当的方法是将矩阵减少为梯形。

Answer 2

对于在维N的空间中定义的任何有限M个向量集，如果通过逐行堆叠这些向量而构造的MxN矩阵的秩具有等于M的等级，则它们是线性无关的。

关于涉及线性代数的数值稳定计算，singular value decomposition通常是要走的路，并且有很多可用的实现。该上下文中的关键点是实现矩阵的秩等于其非零奇异值的数量。但必须注意，由于浮点近似，必须选择有限精度来确定某个值是否实际为零。

你的问题提到你的向量是在整数集中定义的，当然可以利用它来克服浮点计算的有限精度，但我不知道如何。也许有人可以帮助我们？

Answer 3

如果你在有限域内进行高斯消除，它确实有效。 对于二进制文件，它应该非常简单，因为反向元素是微不足道的。 对于较大的有限域，您将需要以某种方式找到逆元素，这可能会变成一个单独的问题。