在给定4个角的情况下计算3d平面的变换矩阵

Question

我在世界原点有一个3D平面，与世界X / Y平面（面向Z轴）对齐。然后，我将一个新平面的四个3d顶点位置转换为3d空间中的某个位置。

两个平面的所有4个顶点的缠绕顺序相同。

我保证4个角是平面的，并且没有倾斜（该平面可能仍在x / y轴上分别缩放）。

在给定平面最后4个角的情况下，如何创建4x4变换矩阵？

Answer 1

假设飞机看起来像这样：

使用以下命令构造飞机的“本地基础”：

• 与AD / BC平行的X轴
• Y轴平行于AB / CD
• Z轴平行于法线
• 原点O位于四边形的中心

可以将转换矩阵分解为 3 个组件：

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1 –比例

由于原始四边形的尺寸为1x1单位，因此沿X和Y局部轴的缩放比例只是边长，即分别为AD和AB的长度。由于四边形是平面的，因此忽略Z比例因子。

因此缩放比例由下式给出：

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2-旋转

旋转分量可以直接从局部基准轴X，Y，Z构造；每个向量（规格化）是矩阵的对应列。

因此，旋转分量由下式给出：

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3-翻译

这是最简单的方法；平移向量只是四边形中心O的绝对坐标，等于矩阵的最后一列。

因此，翻译部分由下式给出：

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可以通过按以下顺序乘以上面的值来获得最终矩阵：

     

     

即组件将按 1 ⇨ 2 ⇨ 3 的顺序应用。