我正试图从结果中扣除2D变换参数。
给定的是未知X-Y坐标系中的大量样本以及WGS84（经度，纬度）中各自的对应样本。由于面积很小，我们可以假设目标系统也是平坦的。
可悲的是，我不知道使用了哪种缩放，旋转，翻译，我甚至不确定是否有1或2个翻译。
我试图创建一个冗长的方程式系统，但这对我来说太复杂了。基本几何也失败了，因为转换的顺序是未知的，我将不得不检查每个可能的组合顺序。
这个问题有系统的方法吗？
答案 0 :(得分：2)
确定缩放系数很简单，只需选择任意两个点并找到它们在X-Y空间和WGS84空间之间的距离，它们的比例就是缩放系数。
旋转和平移有点棘手，但当您了解到应用任意数量的旋转或平移（仅在2维中！）的结果可以减少到一个未知点的单个旋转时，并不是那么困难。一些未知的角度。
突然你有N个点来确定3个未知数，旋转轴（x和y坐标）和旋转角度。
计算旋转如下：
Pr = R*(Pxy - Paxis_xy) + Paxis_xy
Pr是X-Y空间中的旋转点，然后需要转换为WGS84空间（如果坐标系的轴不同）。
R是您熟悉的rotation matrix，具体取决于您的旋转角度
Pxy是X-Y空间中未旋转的点
Paxis_xy是X-Y空间中的旋转轴。
要实际找到3个未知数，您需要通过找到的比例因子取消比例缩放WGS84点（或等效地缩放XY点）并移动点以使两个坐标系具有相同的原点。
首先，找到旋转角度：取两对相应的点P1, P1'和P2, P2'并写出
P1' = R(P1-A) + A
P2' = R(P2-A) + A
为了简洁，我换了A = Paxis_xy。减去这两个方程得出：
P2'-P1' = R(P2-P1)
B = R * C
Bx = cos(a) * Cx - sin(a) * Cy
By = cos(a) * Cx + sin(a) * Cy
By + Bx = 2 * cos(a) * Cx
(By + Bx) / (2 * Cx) = cos(a)
...
(By - Bx) / (2 * Cy) = sin(a)
a = atan2(sin(a), cos(a)) <-- to get the right quadrant
你有自己的角度，你也可以快速检查cos(a) * cos(a) + sin(a) * sin(a) == 1以确保你所有的计算都正确或你的系统确实是一个保持方向的等距（仅由翻译和旋转组成） ）。
既然我们知道a我们知道R，那么我们就会找到A：
P1` = R(P1-A) + A
P1' - R*P1 = (I-R)A
A = (inverse(I-R)) * (P1' - R*P1)
inversion of a 2x2 matrix is easy。
编辑：上述内容有误，或者更具体地说是一个需要单独处理的案例。
翻译和旋转的一种组合不会减少到单个旋转，而是单个翻译。您可以根据固定点来考虑它（操作后有多少点不变）
平移没有固定点（所有点都已更改），旋转有1个固定点（轴不会更改）。事实证明，两个旋转留下1个固定点并且平移和旋转留下1个固定点，其中（有一点证明固定点的数量告诉您执行的操作）是这些的任意组合导致的原因一次轮换。
这对您来说意味着如果您的角度为0，那么使用上述方法也会给您A = 0，这可能不正确。在这种情况下，您必须执行A = P1' - P1。
答案 1 :(得分：1)
如果我正确理解了这个问题，你有 n 点（X 1 ，Y 1 ），......，（X < sub> n ，Y n ），相应的点，比方说，（x 1 ，y 1 ），... ，（x n ，y n ）在另一个坐标系中，前者应该通过旋转，缩放和平移从后者获得。
请注意，此数据不会确定固定的旋转/缩放点，也不会确定应“应”应用的顺序。另一方面，如果您事先知道这些或任意选择它们，您将找到一个旋转，平移和缩放因子，将数据转换为应该。
例如，您可以选择任意一点，例如，p 0 = [X 1 ，Y 1 ] T （列向量）作为旋转的固定点＆amp;缩放并从其他两个点中减去其坐标，得到p 2 = [X 2 -X 1 ，Y 2 < / sub> -Y 1 ] T ，p 3 = [X 3 -X 1 ，Y 3 -Y 1 ] T 。同样取列向量q 2 = [x 2 -x 1 ，y 2 -y 1 ] T ，q 3 = [x 3 -x 1 ，y 3 -y <子> 1 ] Ť。现在[p 2 p 3 ] = A * [q 2 q 3 ]，其中A是unknwon表示旋转缩放的2x2矩阵。你可以解决它（除非你不幸并选择退化点）为A = [p 2 p 3 ] * [q 2 q < sub> 3 ] -1 其中 -1 表示矩阵逆（2x2矩阵[q 2 q 3] ]）。现在，如果坐标系之间的变换确实是旋转 - 缩放 - 平移，则所有点都应满足P k = A *（Q k -q 0 ）+ p 0 ，其中P k = [X k ，Y k ] < sup> T ，Q k = [x k ，y k ] T ，q < sub> 0 = [x 1 ，y 1 ] T ，k = 1，..，n。
如果需要，您可以很容易地从A的组件中确定缩放和旋转参数，或者组合b = -A * q 0 + p 0 以获得P k = A * Q k + b。
上述方法对噪声或选择退化点的反应不好。如有必要，可以通过应用例如主成分分析来解决这个问题，如果MATLAB或其他一些线性代数工具可用，它也只是几行代码。